Faktorisierte Form

Faktorisierte Form in allgemeine Form

Möchte man die faktorisierte Form in die allgemeine Form umwandeln, geht man so vor:

Beispiel 1

\(\begin{align*}
f(x) &= ({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 4)\\
&= {\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-4) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-4)\\
&= x^2 - 4x - 3x + 12\\
&= x^2 - 7x + 12
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\begin{align*}
f(x) &= 3({\color{red}x} + {\color{maroon}1})(x - 2)\\
&= 3 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-2) + {\color{maroon}1} \cdot x + {\color{maroon}1} \cdot (-2))\\
&= 3 \cdot (x^2 - 2x + x - 2)\\
&= 3 \cdot (x^2 - x - 2)\\
&= 3x^2 - 3x - 6
\end{align*}\)

Beispiel 3

\(\begin{align*}
f(x) &= 5({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 3)\\
&= 5 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-3) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-3))\\
&= 5 \cdot (x^2 - 3x - 3x + 9)\\
&= 5 \cdot (x^2 - 6x + 9)\\
&= 5x^2 - 30x + 45
\end{align*}\)

Allgemeine Form in faktorisierte Form

Möchte man die allgemeine Form in die faktorisierte Form umwandeln, geht man so vor:

zu 1.)

Zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion bieten sich folgende Verfahren an:

• Mitternachtsformel
• pq-Formel
• Satz von Vieta

In den folgenden Beispielen verwenden wir die Mitternachtsformel.

zu 2.)

Das \(a\) (Koeffizient von \(x^2\)) aus der allgemeinen Form

\(f(x) = {\color{red}a}x^2 + bx + x\)

ist identisch mit dem \(a\) aus der faktorisierten Form

\(f(x) = {\color{red}a}(x - x_1)(x - x_2)\)

Beispiel 1

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = x^2 - 7x + 12\)

1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen

\({\colorbox{Apricot}{\(1\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-7\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(12\)}} = 0\)

\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-7)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-7)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(1\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\(12\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(1\)}}}
= \frac{7 \pm 1}{2}\]

\[x_1 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\[x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

2.) \(a\) ablesen

\(f(x) = {\color{red}1}x^2 - 7x + 12\)

\(\Rightarrow a = {\color{red}1}\)

3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

Setzt man \(a = 1\), \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\) in die faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ein, erhält man

\(\begin{align*}
f(x) &= 1(x - 3)(x - 4)\\
&= (x - 3)(x - 4)
\end{align*}\)

Beispiel 2

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = 3x^2 - 3x - 6\)

1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen

\({\colorbox{Apricot}{\(3\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-3\)}}x {\colorbox{goldenrod}{\(-6\)}} = 0\)

\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-3)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-3)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\((-6)\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(3\)}}}
= \frac{3 \pm 9}{6}\]

\[x_1 = \frac{3 - 9}{6} = \frac{-6}{6} = -1\]

\[x_2 = \frac{3 + 9}{6} = \frac{12}{6} = 2\]

2.) \(a\) ablesen

\(f(x) = {\color{red}3}x^2 - 3x - 6\)

\(\Rightarrow a = {\color{red}3}\)

3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

Setzt man \(a = 3\), \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\) in die faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ein, erhält man

\(\begin{align*}
f(x) &= 3(x - (-1))(x - 2)\\
&= 3(x + 1)(x - 2)
\end{align*}\)

Beispiel 3

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = 5x^2 - 30x + 45\)

1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen

\({\colorbox{Apricot}{\(5\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-30\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(45\)}} = 0\)

\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-30)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-30)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(5\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\(45\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(5\)}}}
= \frac{30 \pm 0}{10} = 3\]

Sonderfall "Doppelte Nullstelle":
\(x_1 = x_2 = 3\)

2.) \(a\) ablesen

\(f(x) = {\color{red}5}x^2 - 30x + 45\)

\(\Rightarrow a = {\color{red}5}\)

3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

Setzt man \(a = 5\), \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 3\) in die faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ein, erhält man

\(f(x) = 5(x - 3)(x - 3)\)

In diesem Artikel hast du eine weitere Möglichkeit kennengelernt, eine quadratische Funktion darzustellen: Neben der Scheitelpunktform, aus der sich der Scheitelpunkt ablesen lässt, kennst du jetzt auch die faktorisierte Form, aus der sich die Nullstellen ablesen lassen.

Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen
Parabel nach links oder rechts verschieben	\(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben	\(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen	\(f(x) = ax^2\)
Punktprobe	Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen	\(x = 0\)
Nullstellen berechnen	\(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen	\(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung	\(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen	\(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen	\(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form	\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen
Lagebeziehung Parabel-Parabel
Lagebeziehung Parabel-Gerade
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden