Faktorisierte Form

In diesem Kapitel lernen wir die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion kennen.
[Alternative Bezeichnungen: Faktorform, Produktform, Linearfaktordarstellung]

Notwendiges Vorwissen

Voraussetzung für die Existenz einer faktorisierten Form

Die quadratische Funktion muss mindestens eine Nullstelle besitzen.

Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

Dabei sind \(x_1\) und \(x_2\) die Nullstellen der quadratischen Funktion.

Beispiel 1

Die Funktion

\(f(x) = (x - 3)(x - 4)\)

besitzt bei \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\) eine Nullstelle.

Beispiel 2

Die Funktion

\(f(x) = 3(x + 1)(x - 2)\)

besitzt bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\) eine Nullstelle.

Liegt eine quadratische Funktion in faktorisierter Form vor, lassen sich die Nullstellen direkt ablesen. Das ist ganz praktisch, denn auf diese Weise entfällt eine zeitraubende Berechnung.
Vorsicht Fehlerquelle: Beim Ablesen der Nullstellen auf die Vorzeichen achten!

Sonderfall: Doppelte Nullstelle

Für die Funktion \(f(x) = 5(x - 3)(x - 3)\) gilt: \(x_1 = x_2 = 3\).
\(\Rightarrow\) Die Funktion besitzt bei \(x = 3\) eine (doppelte) Nullstelle.

Was hinter einer "doppelten Nullstelle" steckt, erfährst du im Kapitel Vielfachheit von Nullstellen.

Warum lassen sich die Nullstellen so einfach ablesen?

Praktisch ist, dass in der faktorisierten Form nur Faktoren vorliegen. Dann gilt nämlich:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
(> Satz vom Nullprodukt)

Beispiel

\(f(x) = \underbrace{(x - 3)}_{\text{1. Faktor}}\underbrace{(x - 4)}_{\text{2. Faktor}}\)

Wann wird der 1. Faktor gleich Null?

\(x - 3 = 0\)

\(x = 3\)

Wann wird der 2. Faktor gleich Null?

\(x - 4 = 0\)

\(x = 4\)

Faktorisierte Form in allgemeine Form

Möchte man die faktorisierte Form in die allgemeine Form umwandeln, geht man so vor:

Vorgehensweise

  1. Ausmultiplizieren

Beispiel 1

\(\begin{align*}
f(x) &= ({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 4)\\
&= {\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-4) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-4)\\
&= x^2 - 4x - 3x + 12\\
&= x^2 - 7x + 12
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\begin{align*}
f(x) &= 3({\color{red}x} + {\color{maroon}1})(x - 2)\\
&= 3 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-2) + {\color{maroon}1} \cdot x + {\color{maroon}1} \cdot (-2))\\
&= 3 \cdot (x^2 - 2x + x - 2)\\
&= 3 \cdot (x^2 - x - 2)\\
&= 3x^2 - 3x - 6
\end{align*}\)

Beispiel 3

\(\begin{align*}
f(x) &= 5({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 3)\\
&= 5 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-3) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-3))\\
&= 5 \cdot (x^2 - 3x - 3x + 9)\\
&= 5 \cdot (x^2 - 6x + 9)\\
&= 5x^2 - 30x + 45
\end{align*}\)

Allgemeine Form in faktorisierte Form

Möchte man die allgemeine Form in die faktorisierte Form umwandeln, geht man so vor:

Vorgehensweise

  1. Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen
  2. \(a\) ablesen
  3. \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

zu 1.)

Zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion bieten sich folgende Verfahren an:

In den folgenden Beispielen verwenden wir die Mitternachtsformel.

zu 2.)

Das \(a\) (Koeffizient von \(x^2\)) aus der allgemeinen Form

\(f(x) = {\color{red}a}x^2 + bx + x\)

ist identisch mit dem \(a\) aus der faktorisierten Form

\(f(x) = {\color{red}a}(x - x_1)(x - x_2)\)

Beispiel 1

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = x^2 - 7x + 12\)

1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen

\({\colorbox{Apricot}{\(1\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-7\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(12\)}} = 0\)

\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-7)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-7)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(1\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\(12\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(1\)}}}
= \frac{7 \pm 1}{2}\]

\[x_1 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\[x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

2.) \(a\) ablesen

\(f(x) = {\color{red}1}x^2 - 7x + 12\)

\(\Rightarrow a = {\color{red}1}\)

3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

Setzt man \(a = 1\), \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\) in die faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ein, erhält man

\(\begin{align*}
f(x) &= 1(x - 3)(x - 4)\\
&= (x - 3)(x - 4)
\end{align*}\)

Beispiel 2

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = 3x^2 - 3x - 6\)

1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen

\({\colorbox{Apricot}{\(3\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-3\)}}x {\colorbox{goldenrod}{\(-6\)}} = 0\)

\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-3)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-3)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\((-6)\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(3\)}}}
= \frac{3 \pm 9}{6}\]

\[x_1 = \frac{3 - 9}{6} = \frac{-6}{6} = -1\]

\[x_2 = \frac{3 + 9}{6} = \frac{12}{6} = 2\]

2.) \(a\) ablesen

\(f(x) = {\color{red}3}x^2 - 3x - 6\)

\(\Rightarrow a = {\color{red}3}\)

3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

Setzt man \(a = 3\), \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\) in die faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ein, erhält man

\(\begin{align*}
f(x) &= 3(x - (-1))(x - 2)\\
&= 3(x + 1)(x - 2)
\end{align*}\)

Beispiel 3

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = 5x^2 - 30x + 45\)

1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen

\({\colorbox{Apricot}{\(5\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-30\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(45\)}} = 0\)

\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-30)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-30)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(5\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\(45\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(5\)}}}
= \frac{30 \pm 0}{10} = 3\]

Sonderfall "Doppelte Nullstelle":
\(x_1 = x_2 = 3\)

2.) \(a\) ablesen

\(f(x) = {\color{red}5}x^2 - 30x + 45\)

\(\Rightarrow a = {\color{red}5}\)

3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

Setzt man \(a = 5\), \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 3\) in die faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ein, erhält man

\(f(x) = 5(x - 3)(x - 3)\)

In diesem Artikel hast du eine weitere Möglichkeit kennengelernt, eine quadratische Funktion darzustellen: Neben der Scheitelpunktform, aus der sich der Scheitelpunkt ablesen lässt, kennst du jetzt auch die faktorisierte Form, aus der sich die Nullstellen ablesen lassen.

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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