Faktorisierte Form
In diesem Kapitel lernen wir die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion kennen.
[Alternative Bezeichnungen: Faktorform, Produktform, Linearfaktordarstellung]
Notwendiges Vorwissen
- Was ist eine Nullstelle?
(> Nullstelle) - Wie berechnet man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
(> Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen)
Voraussetzung für die Existenz einer faktorisierten Form
Die quadratische Funktion muss mindestens eine Nullstelle besitzen.
Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion
\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Dabei sind \(x_1\) und \(x_2\) die Nullstellen der quadratischen Funktion.
Beispiel 1
Die Funktion
\(f(x) = (x - 3)(x - 4)\)
besitzt bei \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\) eine Nullstelle.
Beispiel 2
Die Funktion
\(f(x) = 3(x + 1)(x - 2)\)
besitzt bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\) eine Nullstelle.
Liegt eine quadratische Funktion in faktorisierter Form vor, lassen sich die Nullstellen direkt ablesen. Das ist ganz praktisch, denn auf diese Weise entfällt eine zeitraubende Berechnung.
Vorsicht Fehlerquelle: Beim Ablesen der Nullstellen auf die Vorzeichen achten!
Sonderfall: Doppelte Nullstelle
Für die Funktion \(f(x) = 5(x - 3)(x - 3)\) gilt: \(x_1 = x_2 = 3\).
\(\Rightarrow\) Die Funktion besitzt bei \(x = 3\) eine (doppelte) Nullstelle.
Was hinter einer "doppelten Nullstelle" steckt, erfährst du im Kapitel Vielfachheit von Nullstellen.
Warum lassen sich die Nullstellen so einfach ablesen?
Praktisch ist, dass in der faktorisierten Form nur Faktoren vorliegen. Dann gilt nämlich:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
(> Satz vom Nullprodukt)
Beispiel
\(f(x) = \underbrace{(x - 3)}_{\text{1. Faktor}}\underbrace{(x - 4)}_{\text{2. Faktor}}\)
Wann wird der 1. Faktor gleich Null?
\(x - 3 = 0\)
\(x = 3\)
Wann wird der 2. Faktor gleich Null?
\(x - 4 = 0\)
\(x = 4\)
Faktorisierte Form in allgemeine Form
Möchte man die faktorisierte Form in die allgemeine Form umwandeln, geht man so vor:
Vorgehensweise
Beispiel 1
\(\begin{align*}
f(x) &= ({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 4)\\
&= {\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-4) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-4)\\
&= x^2 - 4x - 3x + 12\\
&= x^2 - 7x + 12
\end{align*}\)
Beispiel 2
\(\begin{align*}
f(x) &= 3({\color{red}x} + {\color{maroon}1})(x - 2)\\
&= 3 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-2) + {\color{maroon}1} \cdot x + {\color{maroon}1} \cdot (-2))\\
&= 3 \cdot (x^2 - 2x + x - 2)\\
&= 3 \cdot (x^2 - x - 2)\\
&= 3x^2 - 3x - 6
\end{align*}\)
Beispiel 3
\(\begin{align*}
f(x) &= 5({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 3)\\
&= 5 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-3) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-3))\\
&= 5 \cdot (x^2 - 3x - 3x + 9)\\
&= 5 \cdot (x^2 - 6x + 9)\\
&= 5x^2 - 30x + 45
\end{align*}\)
Allgemeine Form in faktorisierte Form
Möchte man die allgemeine Form in die faktorisierte Form umwandeln, geht man so vor:
Vorgehensweise
- Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen
- \(a\) ablesen
- \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen
zu 1.)
Zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion bieten sich folgende Verfahren an:
In den folgenden Beispielen verwenden wir die Mitternachtsformel.
zu 2.)
Das \(a\) (Koeffizient von \(x^2\)) aus der allgemeinen Form
\(f(x) = {\color{red}a}x^2 + bx + x\)
ist identisch mit dem \(a\) aus der faktorisierten Form
\(f(x) = {\color{red}a}(x - x_1)(x - x_2)\)
Beispiel 1
Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = x^2 - 7x + 12\)
1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen
\({\colorbox{Apricot}{\(1\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-7\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(12\)}} = 0\)
\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-7)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-7)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(1\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\(12\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(1\)}}}
= \frac{7 \pm 1}{2}\]
\[x_1 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]
\[x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]
2.) \(a\) ablesen
\(f(x) = {\color{red}1}x^2 - 7x + 12\)
\(\Rightarrow a = {\color{red}1}\)
3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen
Setzt man \(a = 1\), \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\) in die faktorisierte Form
\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
ein, erhält man
\(\begin{align*}
f(x) &= 1(x - 3)(x - 4)\\
&= (x - 3)(x - 4)
\end{align*}\)
Beispiel 2
Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = 3x^2 - 3x - 6\)
1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen
\({\colorbox{Apricot}{\(3\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-3\)}}x {\colorbox{goldenrod}{\(-6\)}} = 0\)
\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-3)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-3)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\((-6)\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(3\)}}}
= \frac{3 \pm 9}{6}\]
\[x_1 = \frac{3 - 9}{6} = \frac{-6}{6} = -1\]
\[x_2 = \frac{3 + 9}{6} = \frac{12}{6} = 2\]
2.) \(a\) ablesen
\(f(x) = {\color{red}3}x^2 - 3x - 6\)
\(\Rightarrow a = {\color{red}3}\)
3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen
Setzt man \(a = 3\), \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\) in die faktorisierte Form
\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
ein, erhält man
\(\begin{align*}
f(x) &= 3(x - (-1))(x - 2)\\
&= 3(x + 1)(x - 2)
\end{align*}\)
Beispiel 3
Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = 5x^2 - 30x + 45\)
1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen
\({\colorbox{Apricot}{\(5\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-30\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(45\)}} = 0\)
\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-30)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-30)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(5\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\(45\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(5\)}}}
= \frac{30 \pm 0}{10} = 3\]
Sonderfall "Doppelte Nullstelle":
\(x_1 = x_2 = 3\)
2.) \(a\) ablesen
\(f(x) = {\color{red}5}x^2 - 30x + 45\)
\(\Rightarrow a = {\color{red}5}\)
3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen
Setzt man \(a = 5\), \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 3\) in die faktorisierte Form
\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
ein, erhält man
\(f(x) = 5(x - 3)(x - 3)\)
In diesem Artikel hast du eine weitere Möglichkeit kennengelernt, eine quadratische Funktion darzustellen: Neben der Scheitelpunktform, aus der sich der Scheitelpunkt ablesen lässt, kennst du jetzt auch die faktorisierte Form, aus der sich die Nullstellen ablesen lassen.
Mehr zu quadratischen Funktionen
Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!
Parabel zeichnen | |
Parabel nach links oder rechts verschieben | \(f(x) = (x-d)^2\) |
Parabel nach oben oder unten verschieben | \(f(x) = x^2 + c\) |
Parabel strecken oder stauchen | \(f(x) = ax^2\) |
Punktprobe | Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)? |
y-Achsenabschnitt berechnen | \(x = 0\) |
Nullstellen berechnen | \(y = 0\) |
Funktionsgleichung bestimmen | \(f(x) = \dotsc\) |
Quadratische Ergänzung | \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\) |
Scheitelpunktform berechnen | \(f(x) = a(x-d)^2 + e\) |
Scheitelpunkt berechnen | \(S(x_s|y_s)\) |
Faktorisierte Form | \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) |
Lagebeziehungen | |
Lagebeziehung Parabel-Parabel | |
Lagebeziehung Parabel-Gerade | |
Umkehrfunktion | |
Umkehrfunktion bilden |
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