Faktorisierte Form
In diesem Kapitel lernen wir die faktorisierte Form (Faktorform, Produktform, Linearfaktordarstellung) einer quadratischen Funktion kennen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Nullstelle?
- Quadratische Funktionen
- Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen
Voraussetzung
Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lässt sich nur dann in die faktorisierte Form bringen, wenn die Funktion mindestens eine Nullstelle besitzt.
Definition
Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in der Form
$$ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) $$
heißt faktorisierte Form.
Dabei sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen der quadratischen Funktion. Das folgt aus dem Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Tipp: Drehe beim Ablesen das Vorzeichen um!
Die Funktion
$$ f(x) = 3(x + 1)(x - 2) $$
besitzt bei $x_1 = -1$ und $x_2 = 2$ Nullstellen.
Sonderfall: Doppelte Nullstelle
Für die Funktion $f(x) = 5(x - 3)(x - 3)$ gilt: $x_1 = x_2 = 3$.
$\Rightarrow$ Die Funktion besitzt bei $x = 3$ eine (doppelte) Nullstelle.
Der Begriff Doppelte Nullstelle
ist im Kapitel Vielfachheit von Nullstellen erklärt.
Faktorisierte Form in allgemeine Form
Möchte man die faktorisierte Form in die allgemeine Form umwandeln, geht man so vor:
Bringe $f(x) = (x-3)(x-4)$ in die allgemeine Form.
$$ \begin{align*} f(x) &= ({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 4) \\[5px] &= {\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-4) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-4) \\[5px] &= x^2 - 4x - 3x + 12 \\[5px] &= x^2 - 7x + 12 \end{align*} $$
Bringe $f(x) = 3(x+1)(x-2)$ in die allgemeine Form.
$$ \begin{align*} f(x) &= 3({\color{red}x} + {\color{maroon}1})(x - 2) \\[5px] &= 3 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-2) + {\color{maroon}1} \cdot x + {\color{maroon}1} \cdot (-2)) \\[5px] &= 3 \cdot (x^2 - 2x + x - 2) \\[5px] &= 3 \cdot (x^2 - x - 2) \\[5px] &= 3x^2 - 3x - 6 \end{align*} $$
Bringe $f(x) = 5(x-3)(x-3)$ in die allgemeine Form.
$$ \begin{align*} f(x) &= 5({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 3) \\[5px] &= 5 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-3) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-3)) \\[5px] &= 5 \cdot (x^2 - 3x - 3x + 9) \\[5px] &= 5 \cdot (x^2 - 6x + 9) \\[5px] &= 5x^2 - 30x + 45 \end{align*} $$
Allgemeine Form in faktorisierte Form
Möchte man die allgemeine Form in die faktorisierte Form umwandeln, geht man so vor:
Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
$\boldsymbol{a}$ ablesen
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{x_1}$ und $\boldsymbol{x_2}$ in die faktorisierte Form einsetzen
zu 1)
Hauptkapitel: Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen
zu 2)
Das $a$ (Koeffizient von $x^2$) aus der allgemeinen Form
$$ f(x) = {\color{red}a}x^2 + bx + x $$
ist identisch mit dem $a$ aus der faktorisierten Form
$$ f(x) = {\color{red}a}(x - x_1)(x - x_2) $$
Bringe $f(x) = x^2 - 7x + 12$ in die faktorisierte Form.
Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ {\colorbox{Apricot}{$1$}}x^2 {\colorbox{orange}{$-7$}}x + {\colorbox{goldenrod}{$12$}} = 0 $$
Gleichung lösen
Wir lösen die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel
$$ x_{1, 2} = \frac{-{\colorbox{orange}{$(-7)$}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{$(-7)$}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{$1$}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{$12$}}}} {2 \cdot {\colorbox{Apricot}{$1$}}} = \frac{7 \pm 1}{2} $$
und erhalten
$$ x_1 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$
$$ x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$
$\boldsymbol{a}$ ablesen
$$ f(x) = {\color{red}1}x^2 - 7x + 12 $$
$$ \Rightarrow a = {\color{red}1} $$
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{x_1}$ und $\boldsymbol{x_2}$ in die faktorisierte Form einsetzen
Wir setzen $a = 1$, $x_1 = 3$ und $x_2 = 4$ in die faktorisierte Form
$$ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) $$
ein und erhalten
$$ \begin{align*} f(x) &= 1(x - 3)(x - 4) \\[5px] &= (x - 3)(x - 4) \end{align*} $$
Bringe $f(x) = 3x^2 - 3x - 6$ in die faktorisierte Form.
Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ {\colorbox{Apricot}{$3$}}x^2 {\colorbox{orange}{$-3$}}x {\colorbox{goldenrod}{$-6$}} = 0 $$
Gleichung lösen
Wir lösen die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel
$$ x_{1, 2} = \frac{-{\colorbox{orange}{$(-3)$}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{$(-3)$}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{$3$}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{$(-6)$}}}} {2 \cdot {\colorbox{Apricot}{$3$}}} = \frac{3 \pm 9}{6} $$
und erhalten
$$ x_1 = \frac{3 - 9}{6} = \frac{-6}{6} = -1 $$
$$ x_2 = \frac{3 + 9}{6} = \frac{12}{6} = 2 $$
$\boldsymbol{a}$ ablesen
$$ f(x) = {\color{red}3}x^2 - 3x - 6 $$
$$ \Rightarrow a = {\color{red}3} $$
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{x_1}$ und $\boldsymbol{x_2}$ in die faktorisierte Form einsetzen
Wir setzen $a = 3$, $x_1 = -1$ und $x_2 = 2$ in die faktorisierte Form
$$ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) $$
ein und erhalten
$$ \begin{align*} f(x) &= 3(x - (-1))(x - 2) \\[5px] &= 3(x + 1)(x - 2) \end{align*} $$
Bringe $f(x) = 5x^2 - 30x + 45$ in die faktorisierte Form.
Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ {\colorbox{Apricot}{$5$}}x^2 {\colorbox{orange}{$-30$}}x + {\colorbox{goldenrod}{$45$}} = 0 $$
Gleichung lösen
Wir lösen die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel
$$ x_{1, 2} = \frac{-{\colorbox{orange}{$(-30)$}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{$(-30)$}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{$5$}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{$45$}}}} {2 \cdot {\colorbox{Apricot}{$5$}}} = \frac{30 \pm 0}{10} = 3 $$
und erhalten
$$ x_1 = x_2 = 3 $$
(Sonderfall Doppelte Nullstelle
)
$\boldsymbol{a}$ ablesen
$$ f(x) = {\color{red}5}x^2 - 30x + 45 $$
$$ \Rightarrow a = {\color{red}5} $$
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{x_1}$ und $\boldsymbol{x_2}$ in die faktorisierte Form einsetzen
Wir setzen $a = 5$, $x_1 = 3$ und $x_2 = 3$ in die faktorisierte Form
$$ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) $$
ein und erhalten
$$ f(x) = 5(x - 3)(x - 3) $$
Anmerkung
Wegen
$$ f(x) = 5(x - 3)(x - 3) = 5(x-3)^2 $$
sind die faktorisierte Form und die Scheitelpunktform im Falle einer doppelten Nullstelle identisch. Die Nullstelle ist bei $x = 3$ und der Scheitelpunkt bei $S(3|0)$. Die Nullstelle und der Scheitelpunkt fallen zusammen
– sie befinden sich also an derselben Stelle.
