Faktorisierte Form

Faktorisierte Form in allgemeine Form

Möchte man die faktorisierte Form in die allgemeine Form umwandeln, geht man so vor:

Beispiel 1

\(\begin{align*}
f(x) &= ({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 4)\\
&= {\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-4) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-4)\\
&= x^2 - 4x - 3x + 12\\
&= x^2 - 7x + 12
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\begin{align*}
f(x) &= 3({\color{red}x} + {\color{maroon}1})(x - 2)\\
&= 3 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-2) + {\color{maroon}1} \cdot x + {\color{maroon}1} \cdot (-2))\\
&= 3 \cdot (x^2 - 2x + x - 2)\\
&= 3 \cdot (x^2 - x - 2)\\
&= 3x^2 - 3x - 6
\end{align*}\)

Beispiel 3

\(\begin{align*}
f(x) &= 5({\color{red}x} {\color{maroon}\:-\:3})(x - 3)\\
&= 5 \cdot ({\color{red}x} \cdot x + {\color{red}x} \cdot (-3) {\color{maroon}\:-\:3} \cdot x {\color{maroon}\:-\:3} \cdot (-3))\\
&= 5 \cdot (x^2 - 3x - 3x + 9)\\
&= 5 \cdot (x^2 - 6x + 9)\\
&= 5x^2 - 30x + 45
\end{align*}\)

Allgemeine Form in faktorisierte Form

Möchte man die allgemeine Form in die faktorisierte Form umwandeln, geht man so vor:

zu 1.)

Zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion bieten sich folgende Verfahren an:

• Mitternachtsformel
• pq-Formel
• Satz von Vieta

In den folgenden Beispielen verwenden wir die Mitternachtsformel.

zu 2.)

Das \(a\) (Koeffizient von \(x^2\)) aus der allgemeinen Form

\(f(x) = {\color{red}a}x^2 + bx + x\)

ist identisch mit dem \(a\) aus der faktorisierten Form

\(f(x) = {\color{red}a}(x - x_1)(x - x_2)\)

Beispiel 1

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = x^2 - 7x + 12\)

1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen

\({\colorbox{Apricot}{\(1\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-7\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(12\)}} = 0\)

\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-7)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-7)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(1\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\(12\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(1\)}}}
= \frac{7 \pm 1}{2}\]

\[x_1 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\[x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

2.) \(a\) ablesen

\(f(x) = {\color{red}1}x^2 - 7x + 12\)

\(\Rightarrow a = {\color{red}1}\)

3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

Setzt man \(a = 1\), \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\) in die faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ein, erhält man

\(\begin{align*}
f(x) &= 1(x - 3)(x - 4)\\
&= (x - 3)(x - 4)
\end{align*}\)

Beispiel 2

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = 3x^2 - 3x - 6\)

1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen

\({\colorbox{Apricot}{\(3\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-3\)}}x {\colorbox{goldenrod}{\(-6\)}} = 0\)

\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-3)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-3)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\((-6)\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(3\)}}}
= \frac{3 \pm 9}{6}\]

\[x_1 = \frac{3 - 9}{6} = \frac{-6}{6} = -1\]

\[x_2 = \frac{3 + 9}{6} = \frac{12}{6} = 2\]

2.) \(a\) ablesen

\(f(x) = {\color{red}3}x^2 - 3x - 6\)

\(\Rightarrow a = {\color{red}3}\)

3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

Setzt man \(a = 3\), \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\) in die faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ein, erhält man

\(\begin{align*}
f(x) &= 3(x - (-1))(x - 2)\\
&= 3(x + 1)(x - 2)
\end{align*}\)

Beispiel 3

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:
\(f(x) = 5x^2 - 30x + 45\)

1.) Nullstellen der quadratischen Funktion berechnen

\({\colorbox{Apricot}{\(5\)}}x^2 {\colorbox{orange}{\(-30\)}}x + {\colorbox{goldenrod}{\(45\)}} = 0\)

\[x_{1,2} =
\frac{-{\colorbox{orange}{\((-30)\)}} \pm \sqrt{{\colorbox{orange}{\((-30)\)}}^2 - 4\cdot {\colorbox{Apricot}{\(5\)}} \cdot {\colorbox{goldenrod}{\(45\)}}}}
{2 \cdot {\colorbox{Apricot}{\(5\)}}}
= \frac{30 \pm 0}{10} = 3\]

Sonderfall "Doppelte Nullstelle":
\(x_1 = x_2 = 3\)

2.) \(a\) ablesen

\(f(x) = {\color{red}5}x^2 - 30x + 45\)

\(\Rightarrow a = {\color{red}5}\)

3.) \(a\), \(x_1\) und \(x_2\) in die faktorisierte Form einsetzen

Setzt man \(a = 5\), \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 3\) in die faktorisierte Form

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

ein, erhält man

\(f(x) = 5(x - 3)(x - 3)\)

In diesem Artikel hast du eine weitere Möglichkeit kennengelernt, eine quadratische Funktion darzustellen: Neben der Scheitelpunktform, aus der sich der Scheitelpunkt ablesen lässt, kennst du jetzt auch die faktorisierte Form, aus der sich die Nullstellen ablesen lassen.