Parabel zeichnen
In diesem Kapitel lernst du, wie man eine Parabel in ein Koordinatensystem einzeichnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Funktionen zeichnen
- Quadratische Funktionen
Vorüberlegungen
Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion.
Bereits aus der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion
$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$
können wir Informationen herauslesen, die uns eine grobe Vorstellung des Aussehens der Parabel liefern:
- Ist
$a$positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet.
Ist$a$negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet. - Bei
$c$schneidet die Parabel die$y$-Achse.
Anleitung
Punkte berechnen
Wertetabelle anlegen
$y$-Werte berechnen
Punkte einzeichnen
Punkte verbinden
Beispiele
Zeichne den Graphen der quadratischen Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 1$.
Vorüberlegungen
- Die Parabel ist nach oben geöffnet.
(Der Koeffizient von$x^2$ist positiv.) - Die Parabel schneidet die
$y$-Achse bei$y = 1$. - Es handelt sich um die Normalparabel.
(Der Koeffizient von$x^2$ist$1$.)
Punkte berechnen
Wertetabelle anlegen
In der 1. Zeile der Wertetabelle stehen beliebige $x$-Werte. Bei quadratischen Funktionen verwendet man meist Werte im Intervall von $-5$ bis $5$ im Abstand von einer Längeneinheit. Der Einfachheit halber beschränken wir uns in diesem Beispiel aber auf die Werte zwischen $0$ und $4$.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline y\text{-Werte} & & & & & \end{array} $$
In der 2. Zeile stehen später die $y$-Werte zu den eben ausgesuchten $x$-Werten. Diese Zeile bleibt aber zunächst leer, da wir diese Werte erst berechnen müssen.
$y$-Werte berechnen
Jetzt setzen wir nacheinander unsere $x$-Werte in die Funktionsgleichung
$$ f(x) = x^2 - 4x + 1 $$
ein, um die gesuchten $y$-Werte zu berechnen.
$$ f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1 $$
$$ f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 1 = -2 $$
$$ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = -3 $$
$$ f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 1 = -2 $$
$$ f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 1 = 1 $$
Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y\text{-Werte} & 1 & -2 & -3 & -2 & 1 \end{array} $$
Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z. B. $P_1(0|1)$.
Punkte einzeichnen
Punkte verbinden
Zeichne den Graphen der quadratischen Funktion $f(x) = 0{,}5x^2 + x - 1{,}5$.
Vorüberlegungen
- Die Parabel ist nach oben geöffnet.
(Der Koeffizient von$x^2$ist positiv.) - Die Parabel schneidet die
$y$-Achse bei$y = -1{,}5$.
Punkte berechnen
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y\text{-Werte} & 6 & 2{,}5 & 0 & -1{,}5 & -2 & -1{,}5 & 0 & 2{,}5 & 6 & 10{,}5 & 16 \end{array} $$
Zeichne den Graphen der quadratischen Funktion $f(x) = -2x^2+8x-4$.
Vorüberlegungen
- Die Parabel ist nach unten geöffnet.
(Der Koeffizient von$x^2$ist negativ.) - Die Parabel schneidet die
$y$-Achse bei$y = -4$.
Punkte berechnen
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x\text{-Werte} & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y\text{-Werte} & -94 & -68 & -46 & -28 & -14 & -4 & 2 & 4 & 2 & -4 & -14 \end{array} $$
