Parabel zeichnen

In diesem Kapitel lernst du, wie man eine Parabel in ein Koordinatensystem einzeichnet.

Bevor wir uns dazu ein ausführliches Beispiel anschauen, besprechen wir, was man aus der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion herauslesen kann:

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

  • Ist \(a\) positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet.
    Ist \(a\) negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
  • Bei \(c\) schneidet die Parabel die y-Achse.

Parabel zeichnen - Beispiel

Zeichne die folgende quadratische Funktion in ein Koordinatensystem

\(f(x) = x^2 - 4x + 7\)

Vorüberlegungen

Die Parabel ist nach oben geöffnet.
(\(x^2\) hat ein positives Vorzeichen)

Die Parabel schneidet die y-Achse bei \(y = 7\).

Es handelt sich um die Normalparabel.
(Kein Koeffizient vor dem \(x^2\))

Vorgehensweise

  1. Wertetabelle anlegen
  2. y-Werte berechnen
  3. Zeichnung anfertigen

1.) Wertetabelle anlegen

Bevor wir unsere quadratische Funktion zeichnen können, müssen wir einige Werte berechnen. Nur auf diese Weise haben wir am Ende eine saubere Zeichunung vor uns.

Dazu legen wir eine Wertetabelle an. In der ersten Zeile stehen (beliebige) x-Werte. Bei quadratischen Funktionen verwendet man meist Werte im Intervall von -5 bis 5 im Abstand von einer Einheit. In der zweiten Zeile stehen später die y-Werte zu den eben ausgesuchten x-Werten. Diese Zeile bleibt aber zunächst leer, da wir diese Werte erst berechnen müssen (siehe Schritt 2).

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte}  & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
\text{y-Werte}  & & & & & \\
\end{array}\)

2.) y-Werte berechnen

Jetzt setzen wir nacheinander unsere x-Werte in die Gleichung

\(f(x) = x^2 - 4x + 7\)

ein, um die gesuchten y-Werte zu berechnen.

\(f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 7 = 7\)

\(f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 7 = 4\)

\(f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 3\)

\(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 7 = 4\)

\(f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 7 = 7\)

Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte}  & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
\text{y-Werte}  & 7 & 4 & 3 & 4 & 7 \\
\end{array}\)

Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z.B. \(P_1\) (0|7).

3.) Zeichnung anfertigen

Zunächst zeichnen wir die berechneten Punkte in das Koordinatensystem...

...danach verbinden wir die Punkte zu einer Parabel.

Parabel zeichnen - Aufgaben

Jetzt ist es an der Zeit, selbständig einige Parabeln in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Auch hier gilt: Übung macht den Meister!

1) Fertige zu den folgenden quadratischen Funktionen eine Wertetabelle im Intervall von -5 bis 5 an.

2) Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem.

a) \(f(x) = 0,5x^2 + x - 1,5\)

b) \(f(x) = -2x^2 + 8x - 4\)

Lösung zu a)

\(f(x) = 0,5x^2 + x - 1,5\)

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte} & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
\text{y-Werte} & 6 & 2,5 & 0 & -1,5 & -2 & -1,5 & 0 & 2,5 & 6 & 10,5 & 16\\
\end{array}\)

Graphik zu Aufgabe a)

Lösung zu b)

\(f(x) = -2x^2+8x-4\)

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{x-Werte} & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{y-Werte} & -94 & -68 & -46 & -28 & -14 & -4 & 2 & 4 & 2 & -4 & -14\\ \end{array}\)

Graphik zu Aufgabe b)

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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