Eigenwerte und Eigenvektoren

Dieses Kapitel soll dir einen ersten Einblick in das Thema Eigenwerte und Eigenvektoren gewähren und die Begriffe definieren.

Um dieses Thema zu verstehen, ist es wichtig, dass du Matrizen multiplizieren kannst.

Grundsätzlich kann man nur von quadratischen Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen.

Eigenwerte und Eigenvektoren - Video

In diesem Mathe Video (5:00 min) wird dir ausführlich erläutert, was man unter Eigenwerten und Eigenvektoren versteht.

Problemstellung

Wir multiplizieren eine Matrix \(A\) mit einem Vektor \(\vec{v}\) und erhalten den Vektor \(\vec{w}\).

\(A \cdot \vec{v} = \vec{w}\)

Schauen wir uns dazu ein willkürliches Zahlenbeispiel an:

\(\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -9 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Graphisch sieht der Sachverhalt folgendermaßen aus

Im Koordinatensystem sind die beiden Vektoren \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) eingezeichnet.

Wir stellen fest, dass der Vektor \(\vec{v}\) durch die Multiplikation mit der Matrix \(A\) sowohl seine Richtung als auch seine Länge verändert hat.

So weit, so gut. Schauen wir uns jetzt einen Spezialfall an.

Wir multiplizieren wieder eine Matrix \(A\) mit einem Vektor \(\vec{x}\). Diesmal erhalten wir jedoch nicht irgendeinen Vektor \(\vec{w}\), sondern den ursprünglichen Vektor \(\vec{x}\) multipliziert mit einer Zahl \(\lambda\) - also ein Vielfaches von \(\vec{x}\).

\(A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x}\)

Schauen wir uns dazu ein Zahlenbeispiel an:

\(\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -9 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}\)

Graphisch sieht der Sachverhalt folgendermaßen aus

Im Koordinatensystem sind die beiden Vektoren \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\lambda \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}\) eingezeichnet.

Im Gegensatz zum ersten Beispiel verändert der Vektor \(\vec{v}\) nur seine Länge, wenn man ihn mit der Matrix \(A\) multipliziert.

Definition Eigenwert und Eigenvektor

Ein Eigenvektor \(\vec{x}\) einer Matrix ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch Multiplikation mit der Matrix nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt. Der Streckungsfaktor \(\lambda\) heißt Eigenwert der Matrix.

In unserem Beispiel

\(A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x}\)

\(\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -9 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}\)

ist

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

ein Eigenvektor der Matrix \(A\).

Der dazugehörige Eigenwert ist \(\lambda = 3\), wegen

\(\lambda \cdot \vec{x} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix};\)

Auf der Suche nach Eigenvektoren

Was passiert, wenn wir die Matrix \(A\) mit einem Vielfachen des Eigenvektors \(\vec{x}\) multiplizieren?

Statt mit \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) multiplizieren wir die Matrix \(A\) jetzt mit dem Zweifachen dieses Vektors.

\(\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -9 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 18 \end{pmatrix}\)

Der Eigenvektor ist in diesem Fall

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\)

Der dazugehörige Eigenwert ist jedoch wieder \(\lambda = 3\), wegen

\(\lambda \cdot \vec{x} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 18 \end{pmatrix};\)

Wir können folgende Eigenschaft festhalten:

Ein Eigenwert hat unendlich viele zugehörige Eigenvektoren, während ein Eigenvektor immer nur zu einem Eigenwert gehören kann.

Beweis:
\(\begin{align*}
A(k\vec{x}) &= kA\vec{x} \\
&= k\lambda\vec{x} \\
&= \lambda (k\vec{x})
\end{align*}\)

Multipliziert man die Matrix \(A\) mit dem \(k\)-fachen Eigenvektor, bleibt der zu dem Eigenvektor gehörende Eigenwert \(\lambda\) unverändert.

Zu einem Eigenwert gehört also nicht nur ein Eigenvektor, sondern auch alle Vielfachen dieses Vektors.

Das Eigenwertproblem

Häufig ist eine Matrix gegeben und man soll die Eigenwerte sowie die Eigenvektoren berechnen. Wie man dieses sog. Eigenwertproblem löst, erfährst du in den folgenden Artikeln:

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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