Defekt einer Matrix
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Defekt einer Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Die Dimension des Kerns einer Matrix heißt Defekt der Matrix.
Es gilt: $\text{def}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A))$
Defekt einer Matrix berechnen
Verfahren 1
Kern der Matrix berechnen
Anzahl der Spaltenvektoren des Kerns bestimmen
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
Berechne den Defekt der Matrix.
Kern der Matrix berechnen
(Schritt-für-Schritt-Anleitung siehe Kapitel Kern einer Matrix - Beispiel 3)
$$ \text{ker}(A) = \left\{ \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \;|\, \lambda \in \mathbb{R} \right\} $$
Anzahl der Spaltenvektoren des Kerns bestimmen
Da der Kern aus einem Spaltenvektor besteht, gilt
$$ \text{def}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A)) = 1 $$
Verfahren 2
Dimension der Matrix bestimmen
Rang der Matrix berechnen
Rangsatz anwenden
zu 1)
Die Dimension der Matrix entspricht der Anzahl der Spalten der Matrix.
zu 2)
Der Rangsatz lautet
$$ \text{def}(A) = \text{dim}(A) - \text{rang}(A) $$
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$
Berechne den Defekt der Matrix.
Dimension der Matrix bestimmen
Da die Matrix vier Spalten besitzt, hat sie die Dimension $4$.
$$ \Rightarrow \text{dim}(A) = 4 $$
Rang der Matrix berechnen
(Schritt-für-Schritt-Anleitung siehe Kapitel Rang einer Matrix - Beispiel 2)
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Zeilen in der Zeilenstufenform, in der nicht ausschließlich Nullen vorkommen.
$$ \Rightarrow \text{rang}(A) = 2 $$
Rangsatz anwenden
$$ \begin{align*} \text{def}(A) &= \text{dim}(A) - \text{rang}(A) \\[5px] &= 4 - 2 \\[5px] &= 2 \end{align*} $$
