Defekt einer Matrix

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Defekt einer Matrix versteht.

Für das Verständnis dieses Themas ist es erforderlich, dass du bereits weißt, was der Kern einer Matrix ist und wie man ihn berechnet.

Der Defekt einer Matrix \(\text{def}(A)\) ist definiert als die Dimension des Kerns der Matrix.

Es gilt: \(\text{def}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A))\)

Im Folgenden zeigen wir dir zwei Verfahren, um den Defekt einer Matrix zu berechnen.

Defekt einer Matrix berechnen - Verfahren 1

  1. Kern der Matrix berechnen
  2. Anzahl der Spaltenvektoren des Kerns bestimmen

Die Matrix \(A\)

\(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)

besitzt folgenden Kern

\(\text{ker}(A) =\left\{\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\right\}\)

[Berechnung vgl. Artikel ""Kern einer Matrix"]

Da der Kern aus einem Spaltenvektor besteht, gilt

\(\text{def}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A)) = 1\)

Defekt einer Matrix berechnen - Verfahren 2

  1. Rang der Matrix berechnen
  2. Rangsatz anwenden: \(\text{def}(A) = \text{dim}(A) - \text{rang}(A)\)

Die Matrix \(A\)

\(A= \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

lässt sich mittels Gauß-Algorithmus in die folgende Zeilenstufenform transformieren

\(A= \begin{pmatrix}2 & -1 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)

[Berechnung vgl. Artikel "Rang einer Matrix"]

Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Zeilen in der Zeilenstufenform, in der nicht ausschließlich Nullen vorkommen.

Aus diesem Grund gilt: \(\text{rang}(A) = 2\)

Jetzt wenden wir den Rangsatz an. Dieser besagt, dass der Defekt einer Matrix gleich ihrer Dimension (d.h. der Anzahl der Spalten) abzüglich des Rangs der Matrix:

\(\text{def}(A) = \text{dim}(A) - \text{rang}(A)\)

Da die Matrix vier Spalten besitzt, hat sie die Dimension 4.

Zusammenfassend gilt: \(\text{def}(A) = 4 - 2 = 2\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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