Eigenraum

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Eigenraum einer Matrix versteht.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits die folgenden Artikel gelesen haben:

Nach dem Lesen der Artikel wird dir der Begriff des Eigenraums keine Probleme bereiten.

Eigenraum - Beispiel

Die Matrix \(A\)

\(A = \begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\)

besitzt die Eigenwerte

\(\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 2, \qquad \lambda_3 = -1;\)

Zu dem Eigenwert \(\lambda_1 = 1\) gehört der Eigenvektor

\(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und alle seine Vielfachen.

Zu dem Eigenwert \(\lambda_2 = 2\) gehört der Eigenvektor

\(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und alle seine Vielfachen.

Zu dem Eigenwert \(\lambda_3 = -1\) gehört der Eigenvektor

\(\vec{x}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und alle seine Vielfachen.

[Dieses Beispiel wird im Artikel Eigenvektoren berechnen ausführlich besprochen.]

Doch was ist jetzt der Eigenraum \(E_A(\lambda)\)?

Der Eigenraum zu einem Eigenwert ist die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.

Um auf den Eigenraum zu kommen, musst du also lediglich die Eigenvektoren der Matrix berechnen und das Ergebnis anschließend in Mengenschreibweise festhalten.

Für unser Beispiel gilt:

Zu dem Eigenwert \({\fcolorbox{Red}{}{\(\lambda_1 = 1\)}}\) gehört der Eigenraum

\(E_A(1) =\left\{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \left|\right.  ~k \in \mathbb{R}\right\}\)

gesprochen:
\(
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}E_A(1)}_\text{Der Eigenraum von A zum Eigenwert 1}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\{}_\text{die Menge aller}~~
\underbrace{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}_\text{k mal Vektor 1 2 1}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}k \in \mathbb{R}}_\text{k ist Element von R}~~
\}
\)

Zu dem Eigenwert \({\fcolorbox{Red}{}{\(\lambda_2 = 2\)}}\) gehört der Eigenraum

\(E_A(2) =\left\{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \left|\right.  ~k \in \mathbb{R}\right\}\)

gesprochen:
\(
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}E_A(2)}_\text{Der Eigenraum von A zum Eigenwert 2}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\{}_\text{die Menge aller}~~
\underbrace{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_\text{k mal Vektor 1 1 0}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}k \in \mathbb{R}}_\text{k ist Element von R}~~
\}
\)

Zu dem Eigenwert \({\fcolorbox{Red}{}{\(\lambda_3 = -1\)}}\) gehört der Eigenraum

\(E_A(-1) =\left\{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \left|\right.  ~k \in \mathbb{R}\right\}\)

gesprochen:
\(
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}E_A(-1)}_\text{Der Eigenraum von A zum Eigenwert -1}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\{}_\text{die Menge aller}~~
\underbrace{k \cdot \!\! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_\text{k mal Vektor 0 0 1}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}k \in \mathbb{R}}_\text{k ist Element von R}~~
\}
\)

Zur Ermittlung des Eigenraums gehört also neben der Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren vor allem eine korrekte Schreibweise (> Mengenschreibweise).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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