Bild einer Matrix

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Bild einer Matrix versteht.

Problemstellung

Gegeben ist folgende Gleichung

\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}\)

Wir multiplizieren eine Matrix \(A\) mit einem beliebigen Vektor \(x\) und erhalten den Lösungsvektor \(b\). Das Bild einer Matrix gibt an, welche Menge an Vektoren als Lösungen auftreten können. Bei Funktionen würde man Wertemenge (oder Wertebereich) dazu sagen. Das Bild einer Matrix kann man sich also als die Wertemenge der Matrix vorstellen.

Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie wir die Wertemenge der Matrix berechnen können.

Was ist das Bild einer Matrix?

Schauen wir uns folgende Matrix an

\(A =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)

Diese Matrix multiplizieren wir jetzt nacheinander mit den drei Einheitsvektoren des \(\mathbb{R}^3\) und schauen, was passiert.

\(\begin{pmatrix}{\color{red}1} & 3 & 2 \\{\color{red}2} & 4 & 4 \\{\color{red}3} & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{red}1} \\{\color{red}2} \\{\color{red}3} \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 &{\color{red}3} & 2 \\ 2 &{\color{red}4} & 4 \\ 3 &{\color{red}5} & 6 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{red}3} \\{\color{red}4} \\{\color{red}5} \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 3 &{\color{red}2} \\ 2 & 4 &{\color{red}4} \\ 3 & 5 &{\color{red}6} \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{red}2} \\{\color{red}4} \\{\color{red}6} \end{pmatrix}\)

Wir erhalten die drei Spaltenvektoren unserer Matrix \(A\).
Diese drei Vektoren sind ein (!) Bild, d.h. ein Teil der Wertemenge, der Matrix \(A\). Bevor wir weitermachen, halten wir diese Lösung in mathematischer Schreibweise fest:

\(\text{img}(A) = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \; \dots \right\}\)

Es gibt jedoch noch mehr Bilder (besser gesagt: unendlich viele), was sich leicht zeigen lässt. Wir multiplizieren die Matrix mit irgendeinem Vektor.

\(\begin{pmatrix}1 & 3 &{\color{red}2} \\ 2 & 4 &{\color{red}4} \\ 3 & 5 &{\color{red}6}\end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{red}4} \\{\color{red}8} \\{\color{red}12} \end{pmatrix}\)

Auch dieser Vektor gehört zum Bild (= Wertemenge) der Matrix.

\(\text{img}(A) = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}, \; \dots \right\}\)

Wir haben gerade festgestellt, dass es unendlich viele Bilder einer Matrix gibt. Alle Vektoren, die aus der Multiplikation der Matrix \(A\) mit einem beliebigen Vektor hervorgehen, gehören zum Bild der Matrix. Diese Lösungsvektoren haben jedoch - wie gerade gezeigt wurde - eine bestimmte Gestalt: Die letzten beiden Vektoren sind z.B. Vielfache voneinander. Allgemein kann man sagen, dass alle Linearkombinationen dieser Vektoren auch zum Bild der Matrix gehören. Mit diesem Wissen können wir den vierten Vektor bedenkenlos aus dem Bild streichen, da der dritte Vektor diesen gewissermaßen miteinschließt.

\(\text{img}(A) = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \; \dots \right\}\)

Stopp! Der dritte Vektor ist ein Vielfaches des ersten Vektors! Was machen wir mit diesem? Richtig, auch von der Liste streichen.

\(\text{img}(A) = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \; \dots \right\}\)

Die verbleibenden beiden Vektoren sind nicht Vielfache voneinander. Mathematisch gesprochen: Die beiden Vektoren sind linear unabhängig. Wir können das Bild an dieser Stelle nicht weiter vereinfachen, ohne einen Teil der Lösungsmenge zu verlieren. Die Lösungsmenge besteht jetzt also aus diesen beiden Vektoren sowie ihren Linearkombinationen (d.h. auch ihren Vielfachen).

Um das Ergebnis korrekt aufzuschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten:

\((1) \quad \text{img}(A) = \left\{\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \left\vert \vphantom{ \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}} \; \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \right. \right\}\)

\((2) \quad \text{img}(A) = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \right\rangle\)

Die zweite Schreibweise ist die abgekürzende Form der ersten Schreibweise und wird deshalb häufiger verwendet. Die spitzen Klammern zeigen an, dass es sich um eine lineare Hülle handelt. Die lineare Hülle (auch Spann genannt) der Vektoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\),...,\(\vec{v}_k\) ist definiert als die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\),...,\(\vec{v}_k\).

Zusammenfassend lässt sich das Bild einer Matrix folgendermaßen definieren:

Das Bild einer Matrix ist gleich den linear unabhängigen Spalten.

Im Folgenden lernen wir drei Verfahren kennen, um die linear unabhängigen Spalten einer Matrix zu berechnen. Das dritte Verfahren ist wohl am einfachsten.

Bild einer Matrix berechnen - Verfahren 1

Um die linear unabhängigen Spalten zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor:

  1. Matrix transponieren
  2. Zeilenstufenform (ZSF) mittels Gauß-Algorithmus erzeugen
  3. Matrix transponieren
  4. Lösung ablesen
    -> alle Spalten, in denen nicht ausschließlich Nullen vorkommen, gehören zum Bild der Matrix

Sowohl der Gauß-Algorithmus als auch das Transponieren von Matrizen werden als bekannt vorausgesetzt.

Von folgender Matrix soll das Bild berechnet werden

\( A =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)

1.) Matrix transponieren

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}\)

2.) Zeilenstufenform (ZSF) mittels Gauß-Algorithmus erzeugen

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\{\color{red}0} &{\color{red}0} &{\color{red}0} \end{pmatrix}\)

3.) Matrix transponieren

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 &{\color{red}0} \\ 2 & -2 &{\color{red}0} \\ 3 & -4 &{\color{red}0} \end{pmatrix}\)

4.) Lösung ablesen

Alle Spalten, in denen nicht ausschließlich Nullen vorkommen, gehören zum Bild der Matrix.

\(\text{img}(A) = \left\langle\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\right\rangle\)

Interpretation der Lösung

Merke: Jede Linearkombination der Lösungsvektoren gehört ebenfalls zum Bild der Matrix \(A\).

Da sich zwei Vektoren in der Lösungsmenge befinden, hat das Bild der Matrix die Dimension 2. Übrigens haben wir damit auch direkt den Rang der Matrix berechnet, da dieser der Dimension des Bildes entspricht.

\(\text{rang}(A) = \text{dim}(\text{img}(A)) = 2\)

Bild einer Matrix berechnen - Verfahren 2

Man kann sich das zweimalige Transponieren der Matrix sparen, wenn man mit Hilfe des Gauß-Algorithmus statt einer oberen Dreiecksmatrix (= Zeilenstufenform) eine untere Dreiecksmatrix erzeugt. Es sollen also die Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null werden.

Entscheidend ist jedoch, dass man statt Zeilenumformungen nur Spaltenumformungen durchführen darf. Dies kann zunächst sehr ungewohnt sein.

Man darf also

  • Spalten vertauschen
  • Spalten mit einer Zahl multiplizieren
  • eine Spalte zu einer anderen Spalte addieren

Von folgender Matrix soll das Bild berechnet werden

\(A =\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\)

1.) Untere Dreiecksmatrix mittels Gauß-Algorithmus erzeugen

3. Spalte + 1. Spalte

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 &{\color{blue}0} \\ -2 & -6 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}\)

2. Spalte - 2 \(\cdot\) 1. Spalte

\(\begin{pmatrix} 1 &{\color{blue}0} &{\color{blue}0} \\ -2 & -2 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{pmatrix}\)

3. Spalte - 0,5 \(\cdot\) 2. Spalte

\(\begin{pmatrix} 1 &{\color{blue}0} &{\color{blue}0} \\ -2 & -2 &{\color{blue}0} \\ 1 & -4 & 3 \end{pmatrix}\)

2.) Lösung ablesen

Alle Spalten, in denen nicht ausschließlich Nullen vorkommen, gehören zum Bild der Matrix.

\(\text{img}(A) = \left\langle\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right\rangle\)

Interpretation der Lösung

Merke: Jede Linearkombination der Lösungsvektoren gehört ebenfalls zum Bild der Matrix \(A\).

Da sich drei Vektoren in der Lösungsmenge befinden, hat das Bild der Matrix die Dimension 3. Übrigens haben wir damit auch direkt den Rang der Matrix berechnet, da dieser der Dimension des Bildes entspricht.

\(\text{rang}(A) = \text{dim}(\text{img}(A)) = 3\)

Bild einer Matrix berechnen - Verfahren 3

Wir untersuchen dieselbe Matrix aus dem ersten Beispiel.

\(A =\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)

Diesmal müssen wir weder die Matrix transponieren (vgl. Beispiel 1) noch den Gauß-Algorithmus auf Spalten anwenden (vgl. Beispiel 2). Eventuell ist das die einfache Möglichkeit, die linear unabhängigen Spaltenvektoren zu berechnen.

1.) Zeilenstufenform (ZSF) mittels Gauß-Algorithmus erzeugen

\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

2.) Linear unabhängige Spalten mit Hilfe der sog. "Köpfe" bestimmen

Unter einem Kopf versteht man den ersten Eintrag einer Zeile ungleich Null. In unserem Beispiel gibt es zwei Köpfe, die nachfolgend farblich hervorgehoben sind.

\(\begin{pmatrix}{\color{blue}1} & 3 & 2 \\ 0 &{\color{blue}-2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Jetzt müssen wir feststellen, in welchen Spalten sich die Köpfe befinden. Sie sind in diesem Fall in der 1. und 2. Spalte. Diese beiden Spalten der ursprünglichen (!) Matrix sind demzufolge die linear unabhängigen Spalten.

\(\begin{pmatrix}{\color{red}1} &{\color{red}3} & 2 \\{\color{red}2} &{\color{red}4} & 4 \\{\color{red}3} &{\color{red}5} & 6 \end{pmatrix}\)

Diese beiden Spalten bilden das Bild der Matrix.

\(\text{img}(A) = \left\langle\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\right\rangle\)

Interpretation der Lösung

Merke: Jede Linearkombination der Lösungsvektoren gehört ebenfalls zum Bild der Matrix \(A\).

Da sich zwei Vektoren in der Lösungsmenge befinden, hat das Bild der Matrix die Dimension 2. Übrigens haben wir damit auch direkt den Rang der Matrix berechnet, da dieser der Dimension des Bildes entspricht.

\(\text{rang}(A) = \text{dim}(\text{img}(A)) = 2\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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