Linearkombination

Unter einer Linearkombination von Vektoren versteht man eine Summe von Vektoren (Vektoraddition), wobei jeder Vektor noch mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Als Ergebnis erhält man wieder einen Vektor.

\[
\vec{v} = \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + \dots + \lambda_n \vec{a_n}
\]

Dabei ist \(\vec{v}\) der Ergebnisvektor und \(\vec{a_1},\vec{a_2},\dots,\vec{a_n}\) sind die Vektoren, die jeweils mit einer (reellen) Zahl \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\) multipliziert und anschließend addiert werden.

Beispiel - Rechnerisch

Gegeben sind die beiden Vektoren

\[\vec{a_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \vec{a_2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Finde zwei Linearkombinationen der beiden Vektoren.

Lösung

Wir denken uns beliebige Zahlen aus, mit denen wir die beiden Vektoren multiplizieren. Im Anschluss daran addieren wir die Vektoren. Auf diese Weise erhalten wir eine Linearkombination der beiden Vektoren.

\[\vec{v_1} = 2 \cdot \vec{a_1} + 3 \cdot \vec{a_2} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 6 \end{pmatrix}\]

\[\vec{v_2} = 3 \cdot \vec{a_1} - 1 \cdot \vec{a_2} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \end{pmatrix}\]

Beispiel - Graphisch

Hinweis: Wir verwenden hier dieselben beiden Vektoren wie bei dem rechnerischen Beispiel und betrachten die folgende Linearkombination:

\[\vec{v} = 1 \cdot \vec{a_1} + 0,5 \cdot \vec{a_2} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,5 \\ 3 \end{pmatrix}\]

Den Ergebnisvektor \(\vec{v}\) erhält man graphisch, indem man die beiden Vektoren entsprechend addiert.

Wie man Vektoren graphisch addiert, erfährst du in dem Artikel Vektoraddition.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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