Vektoraddition

In diesem Kapitel schauen wir uns die Vektoraddition an.

Voraussetzung für die Addition von Vektoren

Vektoren lassen sich nur dann addieren, wenn sie gleicher Dimension und gleicher Art* sind.

Beispiel 1

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix}
\)

Eine Addition von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

Beispiel 2

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}
\)

Eine Addition von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist nicht möglich,
da sie zwar gleicher Art aber nicht gleicher Dimension sind.

Beispiel 3

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}
\)

Eine Addition von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

Beispiel 4

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}
\)

Eine Addition von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist nicht möglich,
da sie zwar gleicher Dimension aber nicht gleicher Art sind.
(Hinweis: Vektor \(\vec{a}\) ist ein Spaltenvektor, Vektor \(\vec{b}\) ein Zeilenvektor)

Beispiel 5

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}
\)

Eine Addition von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

*Es gibt zwei Arten von Vektoren: Spaltenvektoren und Zeilenvektoren.
Im Schulunterricht kommen in der Regel ausschließlich Spaltenvektoren vor.

Wie addiert man Vektoren?

Vektoren werden addiert, indem man ihre Komponenten addiert.

a) Vektoraddition im zweidimensionalen Raum (\(\mathbb{R}^2\))

\(
\vec{a}+\vec{b} =
\begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_a+x_b \\ y_a+y_b\end{pmatrix}
\)

Beispiel

\(
\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1+3 \\ 2+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}
\)

b) Vektoraddition im dreidimensionalen Raum (\(\mathbb{R}^3\))

\(
\vec{a}+\vec{b} =
\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_a+x_b \\ y_a+y_b \\ z_a+z_b\end{pmatrix}
\)

Beispiel

\(
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1+4 \\ 2+5 \\ 3+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}
\)

Hinweis: Vektoren höherer Dimensionen werden nach demselben Prinzip addiert.

Rechenregeln

Kommutativgesetz \(\vec{a}+\vec{b} = \vec{b}+\vec{a}\)
Assoziativgesetz \((\vec{a}+\vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+\vec{c})\)

Graphische Vektoraddition

Gegeben sind die beiden Vektoren

\(\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}; \qquad \vec{q}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix};\)

Berechne \(\vec{p} + \vec{q}\) graphisch.

Zunächst wird der Vektor \(\vec{p}\) eingezeichnet.

Graphisch addiert man zwei Vektoren, indem man den zweiten Vektor an der Spitze des ersten Vektors beginnen lässt.

Der Summenvektor (hier rot eingezeichnet) ist der Vektor, der vom Fuß des ersten Vektors bis zur Spitze des zweiten Vektors reicht.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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