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Lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren

Bevor du dich mit der linearen Abhängigkeit von Vektoren beschäftigst, solltest du dir das Kapitel über Linearkombination durchlesen.

Drei Vektoren heißen linear abhängig, wenn es drei Zahlen \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) und \(\lambda_3\) gibt, die nicht alle gleich Null sind, so dass gilt

\(\lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} + \lambda_3\vec{a_3}  = 0\)

Anders formuliert:

Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt,

\(\lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} + \lambda_3\vec{a_3}  = \vec{0}\)

in der mindestens einer der Koeffizienten \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) bzw. \(\lambda_3\) ungleich Null ist.

Lineare Abhängigkeit im \(\mathbb{R}^3\) - Beispiel

Gegeben sind die drei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\)

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}; \qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}; \qquad
\vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix};
\)

Verfahren 1

Hinweis: Beim ersten Verfahren wird der Gauß-Algorithmus angewandt. Solltest du den Gauß-Algorithmus (noch) nicht beherrschen, guck dir besser die anderen beiden Verfahren zur Prüfung auf lineare Abhängigkeit an.

Der Rechenansatz für das erste Verfahren basiert auf der Definition

\(\lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} + \lambda_3\vec{a_3}  = 0\)

Setzen wir unsere Vektoren in die Definition ein, so erhalten wir

\(\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Jetzt lösen wir das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus

\(\begin{align*}
\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 &= 0 \\
\lambda_1 - \lambda_2 + 3\lambda_3 &= 0 \\
2\lambda_1 + \lambda_2 + 3\lambda_3 &= 0
\end{align*}\)

Die folgenden Rechenschritte werden nur kurz besprochen, da Kenntnisse über den Gauß-Algorithmus vorausgesetzt werden.

\(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & -1 \\
1 & -1 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\)

1.) Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte)

2. Zeile - 1. Zeile

\(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & -1 \\
{\color{red}0}& -4 & 4 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\)

2.) Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte)

3. Zeile - \(2 \cdot\) 1. Zeile

\(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & -1 \\
{\color{red}0}& -4 & 4 \\
{\color{red}0}& -5 & 5
\end{array}\)

3.) Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte)

3. Zeile - \(\frac{5}{4} \cdot\) 2. Zeile

\(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & -1 \\
{\color{red}0}& -4 & 4 \\
{\color{red}0}&{\color{red}0}& 0
\end{array}\)

Interpretation des Ergebnisses

Entsteht bei Anwendung des Gauß-Algorithmus eine Nullzeile, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen (vgl. Artikel zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme). Infolgedessen sind die Vektoren linear abhängig.

Da die 3. Zeile in unserem Beispiel ausschließlich aus Nullen besteht, sind die drei Vektoren linear abhängig.

Hinweis: Gibt es für das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung, nämlich \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\), so sind die Vektoren linear unabhängig. Eine einzige Lösung gibt es genau dann, wenn das Gleichungssystem nach Anwendung des Gauß-Algorithmus keine Nullzeile besitzt.

Merke

  • Nullzeile = Lineare Abhängigkeit
  • Keine Nullzeile = Lineare Unabhängigkeit

Verfahren 2

Der Ansatz für das zweite Verfahren basiert auf der Tatsache, dass drei Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) genau dann linear abhängig sind, wenn sie in einer Ebene liegen. Das ist dann der Fall, wenn sich der dritte Vektor durch die beiden anderen ausdrücken lässt.

\(\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Im Folgenden berechnen wir die Lösung des Gleichungssystems mit Hilfe des Einsetzungsverfahren.

\(\begin{align*}
\lambda_1 + 3\lambda_2 &= -1 \\
\lambda_1 - \lambda_2 &= 3 \\
2\lambda_1 + \lambda_2 &= 3
\end{align*}\)

Lassen sich die Unbekannten \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) eindeutig berechnen, ohne dass \(\lambda_1 = \lambda_2 = 0\) gilt, sind die Vektoren linear abhängig.

Wir lösen die 1. Zeile nach \(\lambda_1\) auf

\(\lambda_1 + 3\lambda_2 = -1 \qquad \rightarrow \qquad \lambda_1 = -1 - 3\lambda_2\)

Einsetzen von \(\lambda_1 = -1 - 3\lambda_2\) in die 2. Zeile, um \(\lambda_2\) zu berechnen

\((-1 - 3\lambda_2) - \lambda_2 = 3 \qquad \rightarrow \qquad \lambda_2 = -1\)

Einsetzen von \(\lambda_2 = -1\) in die 3. Zeile, um \(\lambda_1\) zu berechnen

\(2\lambda_1 - 1 = 3 \qquad \rightarrow \qquad \lambda_1 = 2\)

Da sich die Unbekannten \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) eindeutig berechnen lassen, ohne dass \(\lambda_1 = \lambda_2 = 0\) gilt, liegen die drei Vektoren in einer Ebene und sind somit linear abhängig.

\(2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} -1 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Verfahren 3

Im dritten Verfahren untersuchen wir die Determinante, die sich aus den drei Vektoren ergibt. Ist die entsprechende Determinante gleich Null, so sind die Vektoren linear abhängig.

\(|D|= \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0\)

Da die Determinante gleich Null ist, sind die Vektoren linear abhängig.

Ps. Weißt du noch, wie man 3x3 Determinanten berechnet?

Eigenschaften von Vektoren im \(\mathbb{R}^3\)

  • 2 Vektoren sind im \(\mathbb{R}^3\) genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind.
  • 3 Vektoren sind im \(\mathbb{R}^3\) genau dann linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen (dort können sie auch untereinander parallel sein).
  • 4 (oder mehr) Vektoren sind im \(\mathbb{R}^3\) stets linear abhängig.

Schauen wir uns die letzte Eigenschaft etwas genauer an und fragen uns:

Warum sind mehr als 3 Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) stets linear abhängig?

Der \(\mathbb{R}^3\) ist definiert als ein Vektorraum, der durch 3 linear unabhängige Vektoren aufgespannt wird. Diese drei Vektoren nennt man Basis des Vektorraums. Meist verwendet man die sog. Standardbasis (kanonische Basis):

\(e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};\)

Mit Hilfe dieser Basis kann jeder (!) andere Vektor des \(\mathbb{R}^3\) als Linearkombination geschrieben werden.

Beispiel:

\(2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \\ 0\end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Wir können uns also keinen vierten Vektor im \(\mathbb{R}^3\) ausdenken, der nicht als Linearkombination der drei Basisvektoren geschrieben werden könnte. Daraus folgt, dass 4 (oder mehr) Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) stets linear abhängig sind.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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