3x3 Determinante berechnen

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man eine 3x3 Determinante berechnet.

Problemstellung

Gegeben ist eine Matrix A

\(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\)

Mit Hilfe der Regel von Sarrus (auch sarrusche Regel oder Jägerzaun-Regel) wird die Berechnung einer 3x3 Determinante zum Kinderspiel. Zunächst schreiben wir die ersten beiden Spalten noch einmal neben die Determinante:

\(|A|= \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \quad \begin{matrix} a & b & \\ d & e & \\ g & h & \end{matrix}\)

Jetzt bilden wir die Produkte der Elemente der drei Diagonalen, die von links oben nach rechts unten verlaufen. Diese Produkte addieren wir.

\(a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h\)

Davon ziehen wir die Produkte der Elemente der drei Diagonalen, die von links unten nach rechts oben verlaufen, ab.

\(-g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b\)

Die Formel zur Berechnung einer 3x3 Determinante lautet also

\(\begin{align*}
|A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} & = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h \\
& \quad -g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b
\end{align*}\)

Solltest du dich mit diesem Thema zum ersten Mal auseinandersetzen oder Probleme haben, dir die Formel zu merken, so empfehle ich dir das nachfolgende Lernvideo anzugucken.

Mathematik Video

In diesem Mathe Video (5:05 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt, wie man am einfachsten 3x3 Determinanten berechnet.

Beispiele

Schau dir die Beispiele gut an, damit du im Anschluss daran, Aufgaben selbständig lösen kannst.

\(\begin{align*} |A| & = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \\ & = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 \\ & \quad - 7 \cdot 5 \cdot 3 - 8 \cdot 6 \cdot 1 - 9 \cdot 4 \cdot 2 \\ & = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 \\ & = 0\\ \end{align*}\)

\(\begin{align*} |B| & = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 2 \\ 3 & -3 & 1 \\ 1 & 4 & -4 \end{vmatrix} \\ & = 2 \cdot (-3) \cdot (-4) + 5 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \\ & \quad - 1 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 - (-4) \cdot 3 \cdot 5 \\ & = 24 + 5 + 24 - (-6) - 8 - (-60) \\ & = 111\\ \end{align*}\)

\(\begin{align*} |C| & = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 9 \\ -1 & 6 & -1 \\ 9 & -1 & 7 \end{vmatrix} \\ & = 5 \cdot 6 \cdot 7 + (-1) \cdot (-1) \cdot 9 + 9 \cdot (-1) \cdot (-1) \\ & \quad - 9 \cdot 6 \cdot 9 - (-1) \cdot (-1) \cdot 5 - 7 \cdot (-1) \cdot (-1) \\ & = 210 + 9 + 9 - 486 - 5 - 7 \\ & = -270\\ \end{align*}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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