2x2 Determinanten berechnen

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man eine 2x2 Determinante berechnet.

Erforderliches Vorwissen

Formel 

Gegeben sei eine 2x2 Matrix

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

Die Formel zur Berechnung der Determinante der Matrix ist

$$ |A| = \begin{vmatrix} {\color{red}a} & {\color{blue}b} \\ {\color{blue}c} & {\color{red}d} \end{vmatrix} = {\color{red}a}\cdot{\color{red}d}-{\color{blue}c}\cdot{\color{blue}b} $$

Merkhilfe

Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen (${\color{red}a}\cdot{\color{red}d}$) minus Produkt der Elemente der Nebendiagonalen (${\color{blue}c}\cdot{\color{blue}b}$)

Beispiele 

Beispiel 1 

Berechne die Determinante der Matrix

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{align*} |A| &= \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \\[5px] &= 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 \\[5px] &= 4 - 4 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$

Beispiel 2 

Berechne die Determinante der Matrix

$$ B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{align*} |B| &= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} \\[5px] &= 3 \cdot (-3) - 2 \cdot 2 \\[5px] &= -9 - 4 \\[5px] &= -13 \end{align*} $$

Beispiel 3 

Berechne die Determinante der Matrix

$$ C = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -2{,}5 & 7 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{align*} |C| &= \begin{vmatrix} -4 & -2 \\ -2{,}5 & 7 \end{vmatrix} \\[5px] &= (-4) \cdot 7 - (-2{,}5) \cdot (-2) \\[5px] &= -28 - 5 \\[5px] &= -33 \end{align*} $$

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