Kofaktor

Die Formel für den Kofaktor lautet

\(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}\)

Dabei ist \(A_{ij}\) der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktors \((-1)^{i+j}\) mit einer Unterdeterminante \(D_{ij}\) zusammensetzt.

Unterdeterminante

\(D_{ij}\) ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht.

Beispiele

Ist die Determinante A gegeben,

\(|A| = \begin{vmatrix}a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)

so gibt es z. B. folgende Unterdeterminanten:

\(D_{11}\) ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die 1-te Zeile und die 1-te Spalte streicht.

\(D_{11} = \begin{vmatrix}\bcancel{a_{11}}&\bcancel{a_{12}} &\bcancel{a_{13}} \\\bcancel{a_{21}} &{\color{blue}a_{22}} &{\color{blue}a_{23}} \\\bcancel{a_{31}} &{\color{blue}a_{32}} &{\color{blue}a_{33}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}{\color{blue}a_{22}} &{\color{blue}a_{23}} \\{\color{blue}a_{32}} &{\color{blue}a_{33}} \end{vmatrix}\)

\(D_{13}\) ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die 1-te Zeile und die 3-te Spalte streicht.

\(D_{13} = \begin{vmatrix}\bcancel{a_{11}} &\bcancel{a_{12}} &\bcancel{a_{13}} \\{\color{blue}a_{21}} &{\color{blue}a_{22}} &\bcancel{a_{23}} \\{\color{blue}a_{31}} &{\color{blue}a_{32}} &\bcancel{a_{33}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}{\color{blue}a_{21}} &{\color{blue}a_{22}} \\{\color{blue}a_{31}} &{\color{blue}a_{32}} \end{vmatrix}\)

\(D_{32}\) ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die 3-te Zeile und die 2-te Spalte streicht.

\(D_{32} = \begin{vmatrix}{\color{blue}a_{11}} &\bcancel{a_{12}} &{\color{blue}a_{13}} \\{\color{blue}a_{21}} &\bcancel{a_{22}} &{\color{blue}a_{23}} \\\bcancel{a_{31}} &\bcancel{a_{32}} &\bcancel{a_{33}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}{\color{blue}a_{11}} &{\color{blue}a_{13}} \\{\color{blue}a_{21}} &{\color{blue}a_{23}} \end{vmatrix}\)

Vorzeichenfaktor

Der Vorzeichenfaktor \((-1)^{i+j}\) ordnet jeder Unterdeterminante ein Vorzeichen zu. Dabei ist \(i\) der Zeilenindex und \(j\) der Spaltenindex. Ist \(i+j\) gerade, so ist das Vorzeichen positiv. Ist \(i+j\) ungerade, so ist das Vorzeichen negativ.

Als Merkhilfe dient das schachbrettartige Muster. Jeder Position ist eindeutig ein Vorzeichen zugeordnet. Man beginnt oben links mit einem Plus-Zeichen und wechselt anschließend in den Zeilen (und Spalten) Minus und Plus ab.

\(|A| = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \qquad \rightarrow \qquad |A| = \begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{vmatrix}\)

Kofaktor berechnen - Beispiele

Berechne den Kofaktor \(A_{11}\).

\(|A| = \begin{vmatrix}\colorbox{yellow}{\(a_{11}\)} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \qquad \rightarrow \qquad |A| = \begin{vmatrix}\colorbox{yellow}{\(+\)} & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{vmatrix}\)

\(A_{11} = (-1)^{\colorbox{yellow}{\(1+1\)}} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a_{11}}&\bcancel{a_{12}} &\bcancel{a_{13}} \\\bcancel{a_{21}} &{\color{blue}a_{22}} &{\color{blue}a_{23}} \\\bcancel{a_{31}} &{\color{blue}a_{32}} &{\color{blue}a_{33}} \end{vmatrix} = \colorbox{yellow}{\(+\)}\begin{vmatrix}{\color{blue}a_{22}} &{\color{blue}a_{23}} \\{\color{blue}a_{32}} &{\color{blue}a_{33}} \end{vmatrix}\)

Berechne den Kofaktor \(A_{13}\).

\(|A| = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\colorbox{yellow}{\(a_{13}\)} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \qquad \rightarrow \qquad |A| = \begin{vmatrix} + & - &\colorbox{yellow}{\(+\)} \\ - & + & - \\ + & - & + \end{vmatrix}\)

\(A_{13} = (-1)^{\colorbox{yellow}{\(1+3\)}} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a_{11}} &\bcancel{a_{12}} &\bcancel{a_{13}} \\{\color{blue}a_{21}} &{\color{blue}a_{22}} &\bcancel{a_{23}} \\{\color{blue}a_{31}} &{\color{blue}a_{32}} &\bcancel{a_{33}} \end{vmatrix} = \colorbox{yellow}{\(+\)}\begin{vmatrix}{\color{blue}a_{21}} &{\color{blue}a_{22}} \\{\color{blue}a_{31}} &{\color{blue}a_{32}} \end{vmatrix}\)

Berechne den Kofaktor \(A_{32}\).

\(|A| = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &\colorbox{yellow}{\(a_{32}\)} & a_{33} \end{vmatrix} \qquad \rightarrow \qquad |A| = \begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + &\colorbox{yellow}{\(-\)} & + \end{vmatrix}\)

\(A_{32} = (-1)^{\colorbox{yellow}{\(3+2\)}} \cdot \begin{vmatrix}{\color{blue}a_{11}} &\bcancel{a_{12}} &{\color{blue}a_{13}} \\{\color{blue}a_{21}} &\bcancel{a_{22}} &{\color{blue}a_{23}} \\\bcancel{a_{31}} &\bcancel{a_{32}} &\bcancel{a_{33}} \end{vmatrix} = \colorbox{yellow}{\(-\)}\begin{vmatrix}{\color{blue}a_{11}} &{\color{blue}a_{13}} \\{\color{blue}a_{21}} &{\color{blue}a_{23}} \end{vmatrix}\)

Anwendung

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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