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Inverse Matrix berechnen mit Hilfe der Adjunkten

Die Formel zur Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe der Adjunkten lautet

\[A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)\]

Folgende Kapitel werden vorausgesetzt:

Da die Adjunkte die Transponierte der Kofaktormatrix ist, kann man die obige Formel auch umschreiben zu

\[A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Cof(A)^{T}\]

Vorgehen

  1. Berechne die Determinante von A. Wenn die Determinante von A gleich Null ist, gibt es keine Inverse und du kannst mit dem Rechnen aufhören.
  2. Ist die Determinante von A ungleich Null, berechne die Kofaktoren.
  3. Stelle die Kofaktormatrix auf.
  4. Transponiere die Kofaktormatrix, um die Adjunkte zu erhalten.
  5. Setze die Zwischenergebnisse in die Formel zur Berechnung der inversen Matrix ein.

Mathematik Video

In diesem Mathe Video (56:34 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt, wie man mit Hilfe der Adjunkten die inverse Matrix berechnet.

Inverse Matrix berechnen - Beispiel

Gegeben ist die Matrix A

\(A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\)

Zu berechnen ist die Inverse der Matrix A mit Hilfe der Adjunkten.

1.) Determinante berechnen

\(A = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 4 \cdot 7 - 5 \cdot 3 = 13\)

Da die Determinante ungleich Null ist, existiert eine Inverse der Matrix A und wir können weiterrechnen.

2.) Kofaktoren berechnen

Die Formel für den Kofaktor lautet

\(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}\)

Dabei ist \(A_{ij}\) der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktors \((-1)^{i+j}\) mit einer Unterdeterminante \(D_{ij}\) zusammensetzt.

Der Vorzeichenfaktor \((-1)^{i+j}\) ordnet jeder Unterdeterminante ein Vorzeichen zu. Elemente, deren Summe aus Zeilennummer \(i\) und Spaltennummer \(j\) ungerade ist, bekommen ein negatives Vorzeichen.

\(D_{ij}\) ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht.

\(A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{4} &\bcancel{3} \\\bcancel{5} &{\color{red}7} \end{vmatrix} ={\color{blue}7}\)

\(A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{4} &\bcancel{3} \\{\color{red}5} &\bcancel{7} \end{vmatrix} ={\color{blue}-5}\)

\(A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{4} &{\color{red}3} \\\bcancel{5} &\bcancel{7} \end{vmatrix} ={\color{blue}-3}\)

\(A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix}{\color{red}4} &\bcancel{3} \\\bcancel{5} &\bcancel{7} \end{vmatrix} ={\color{blue}4}\)

3.) Kofaktormatrix aufstellen

Die Elemente der Kofaktormatrix \(Cof(A)\) sind die entsprechenden Kofaktoren.

\(Cof(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}7} &{\color{blue}-5} \\{\color{blue}-3} &{\color{blue}4} \end{pmatrix} \)

4.) Kofaktormatrix transponieren

Die Adjunkte einer Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix.

\(Adj(A) = Cof(A)^{T} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}7} &-3 \\-5 &{\color{blue}4} \end{pmatrix}\)

5.) Einsetzen der Zwischenergebnisse in die Formel

\[A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A) = \frac{1}{13} \cdot \begin{pmatrix}{\color{blue}7} &-3\\-5&{\color{blue}4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{13} & -\frac{3}{13} \\ -\frac{5}{13} & \frac{4}{13} \end{pmatrix}\]

PROBE

Haben wir die inverse Matrix richtig berechnet, so sollte bei der Multiplikation mit der Matrix A die Einheitsmatrix herauskommen.

\(A \cdot A^{-1} = E\)

Zur Multiplikation der beiden Matrizen verwenden wir das Falk-Schema, welches in dem Artikel Matrrizenmultiplikation vorgestellt wird.

\[\begin{array}{rr|cc}
&& \frac{7}{13} & -\frac{3}{13}\\
&& -\frac{5}{13} & \frac{4}{13}\\
\hline
4 & 3 & x_{11} & x_{12} \\
5 & 7 & x_{21} & x_{22}
\end{array}\]

Die Elemente der Ergebnismatrix berechnen sich zu

\[x_{11} = 4 \cdot \frac{7}{13} + 3 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) ={\color{blue}1}\]

\[x_{12} = 4 \cdot \left(-\frac{3}{13}\right) + 3 \cdot \frac{4}{13} ={\color{blue}0}\]

\[x_{21} = 5 \cdot \frac{7}{13} + 7 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) ={\color{blue}0}\]

\[x_{22} = 5 \cdot \left(-\frac{3}{13}\right) + 7 \cdot \frac{4}{13} ={\color{blue}1}\]

Als Ergebnis der Multiplikation erhalten wir somit die Einheitsmatrix

\[A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{7}{13} & -\frac{3}{13} \\ -\frac{5}{13} & \frac{4}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}1} &{\color{blue}0} \\{\color{blue}0} &{\color{blue}1} \end{pmatrix}\]

Damit wurde gezeigt, dass wir die inverse Matrix mit Hilfe der Adjunkten korrekt berechnet haben.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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