Matrix diagonalisieren

Im Prinzip ist es nicht besonders schwierig, eine Matrix zu diagonalisieren. Wichtig ist jedoch, dass man bereits einige Themen der Matrizenrechnung beherrscht.

Folgende Kapitel werden dementsprechend vorausgesetzt

Darüber hinaus muss man den Gauß-Algorithmus anwenden können.

Unter "Matrix diagonalisieren" versteht man die Umwandlung einer quadratischen Matrix in eine Diagonalmatrix.

Doch was ist eine Diagonalmatrix überhaupt?

Diagonalmatrix

Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind.

\(D = \begin{pmatrix}{\color{red}d_1}& 0 & \cdots & 0 \\ 0 &{\color{red}d_2}& \ddots & 0 \\ \vdots &\ddots&{\color{red}\ddots}& 0 \\ 0 & \cdots & 0 &{\color{red}d_n}\end{pmatrix}\)

So weit, so gut...aber warum möchte man eigentlich eine Diagonalmatrix berechnen?

Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix in "möglichst einfacher Gestalt". Weitere Rechnungen werden dadurch enorm vereinfacht. Im Folgenden werden exemplarisch einige Eigenschaften einer Diagonalmatrix genannt:

  • die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonale
  • der Rang einer Diagonalmatrix lässt sich direkt ablesen (Anzahl der Nicht-Null-Zeilen)
  • die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf den Hauptdiagonalen mit den kanonischen Einheitsvektoren als Eigenvektoren

Außerdem vereinfacht sich die Matrizenaddition, die Skalarmultiplikation, die Matrizenmultiplikation sowie die Berechnung der Inversen und der Transponierten.

Matrix diagonalisieren: Voraussetzungen

Es müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein, damit man eine Matrix diagonalisieren kann.

  1. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren
  2. Die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte stimmen überein

Zu 1.) Besitzt das charakteristische Polynom einer \(n \times n\)-Matrix weniger als \(n\) Nullstellen, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

Zu 2.) Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes entspricht der Dimension des zugehörigen Eigenraums. Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes entspricht der Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom. Letztlich ist also zu überprüfen, ob die Dimension der einzelnen Eigenräume jeweils mit der Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle (= Eigenwert) im charakteristischen Polynom übereinstimmt.

Beispiel zu 1.)

Ist folgende Matrix diagonalisierbar?

\(A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Berechnung des charakteristischen Polynoms

\(\begin{align*}\chi_A(\lambda) &=\begin{vmatrix} (1-\lambda) & -\sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} & (-1-\lambda) & 0 \\ 0 & 0 & (1-\lambda) \end{vmatrix}\\
&=(1-\lambda) \cdot (-1-\lambda) \cdot (1-\lambda) - (1-\lambda) \cdot \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3})\\
&= (1-\lambda) \left[(-1-\lambda) \cdot (1-\lambda) - \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3})\right]\\
&= (1-\lambda) \left[-1 + \lambda - \lambda + \lambda^2 + 3\right]\\
&= (1-\lambda) \cdot (\lambda^2 + 2)
\end{align*}\)

Da \((\lambda^2 + 2)\) keine reelle Nullstelle besitzt, lässt sich das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen. Die Matrix ist folglich nicht diagonalisierbar.

Beispiel zu 2.)

Ist folgende Matrix diagonalisierbar?

\(A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -3 \\ 2 & 7 & -4 \\ 3 & 9 & -5 \end{pmatrix}\)

Das charakteristische Polynom lautet

\(\chi_A(\lambda) = -(\lambda - 2)^2 \cdot (\lambda - 1)\)

Es lassen sich die Eigenwerte 2 und 1 berechnen, wobei der Eigenwert 2 die Vielfachheit 2 besitzt. Das charakteristische Polynom zerfällt also vollständig in Linearfaktoren.

Die Eigenräume lauten

\(E_A(1) =\left\{\lambda \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \left|\right.  ~\lambda \in \mathbb{R}\right\}\)

\(E_A(2) =\left\{\lambda \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \left|\right.  ~\lambda \in \mathbb{R}\right\}\)

Da die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert 2 gleich 1 (\(\dim(E(2)) = 1\)), die algebraische Vielfachheit jedoch 2 ist, ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Wären zwei linear unabhängige Vektoren im Eigenraum zum Eigenwert 2, wäre die Matrix diagonalisierbar.

Diagonalisierung einer Matrix

Falls nicht bekannt ist, ob die Matrix diagonalisierbar ist, muss man folgende Schritte durchführen

  1. Berechne das charakteristische Polynom der Matrix
  2. Berechne die Nullstellen des charakteristischen Polynoms (= Eigenwerte). Wenn das charakteristische Polynom dabei nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt, dann wissen wir bereits an dieser Stelle, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist.
  3. Bestimme die Eigenräume und ihre Dimensionen. Prüfe, ob alle geometrischen und algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen.
  4. Stelle die Diagonalmatrix auf - dabei sind die Einträge der Hauptdiagonale gleich der berechneten Eigenwerte der Matrix

Ist bekannt, dass die Matrix diagonalisierbar ist, verkürzt sich das Verfahren zu

  1. Charakteristisches Polynom berechnen
  2. Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
  3. Diagonalmatrix aufstellen

Kurz gesagt: Berechne die Eigenwerte der Matrix und setze diese als Elemente auf der Hauptdiagonale ein.

Matrix diagonalisieren - Beispiel 1

Folgende Matrix soll diagonalisiert werden

\(A = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)

Dabei wird vorausgesetzt, dass die Matrix diagonalisierbar ist.

1.) Charakteristisches Polynom berechnen

\(\begin{align*}\chi_A(\lambda) &=\begin{vmatrix} (3-\lambda) & 0 & 0 \\ 1 & (2-\lambda) & 2 \\ 1 & 0 & (4-\lambda) \end{vmatrix}\\
&=(3-\lambda) \cdot (2-\lambda) \cdot (4-\lambda)
\end{align*}\)

2.) Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen

In diesem Fall kann man die Nullstellen ganz einfach ablesen.

\(\lambda_1 = 3, \qquad \lambda_2 = 2, \qquad \lambda_3 = 4;\)

3.) Diagonalmatrix aufstellen

Die Elemente der Hauptdiagonale der Diagonalmatrix entsprechen den berechneten Eigenwerten.

\(D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)

Hinweis: Die Anordnung der Eigenwerte auf der Hauptdiagonale ist beliebig. Es gibt in diesem Fall also 6 Möglichkeiten die Diagonalmatrix aufzustellen.

Matrizen diagonalisieren - Video

In diesem Mathe Video (6:48 min) wird dir ausführlich erläutert, wie man eine Matrix diagonalisiert.

Matrix diagonalisieren - Beispiel 2

Folgende Matrix soll diagonalisiert werden

\(A = \begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\)

Dabei wird vorausgesetzt, dass die Matrix diagonalisierbar ist.

1.) Charakteristisches Polynom berechnen

\(\begin{align*}\chi_A(\lambda) &=\begin{vmatrix} (3-\lambda) & -1 & 0 \\ 2 & (0-\lambda) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-\lambda) \end{vmatrix}\\
&=(3-\lambda) \cdot (0-\lambda) \cdot (-1-\lambda) - (-1-\lambda) \cdot 2 \cdot (-1)\\
&= -\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2
\end{align*}\)

2.) Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen

(vgl. Kapitel "Kubische Gleichungen lösen")

\(\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 2, \qquad \lambda_3 = -1;\)

3.) Diagonalmatrix aufstellen

\(D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Hinweis: Die Anordnung der Eigenwerte auf der Hauptdiagonale ist beliebig. Es gibt in diesem Fall also 6 Möglichkeiten die Diagonalmatrix aufzustellen.

4.) Ergebnis überprüfen

Es gilt

\(D = T^{-1} A T\)

Dabei ist \(T\) die sog. Transformationsmatrix, deren Spalten die Basen der Eigenräume sind.

Wir müssen also zunächst

um die Transformationsmatrix zu erhalten.

a) Eigenvektoren berechnen

\(A = \begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\)

Der zu einem Eigenwert \(\lambda_i\) gehörende Eigenvektor \(x_i\) ist die Lösung der Gleichung

\((A-\lambda_i E)x_i = 0\)

\(\left[\begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} - \lambda_i \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}{\color{red}x}\\{\color{red}y}\\{\color{red}z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(\left[\begin{pmatrix} (3-\lambda_i) & -1 & 0 \\ 2 & (0-\lambda_i) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-\lambda_i) \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}{\color{red}x}\\{\color{red}y}\\{\color{red}z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(\left[\begin{pmatrix} (3-\lambda_i){\color{red}x}& -1{\color{red}y}& 0{\color{red}z}\\ 2{\color{red}x}& (0-\lambda_i){\color{red}y}& 0{\color{red}z}\\ -2{\color{red}x}& 2{\color{red}y} & (-1-\lambda_i){\color{red}z}\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Dieses Gleichungssystem lösen wir mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Um Schreibarbeit zu sparen, lassen wir dabei überflüssige Informationen weg. Übrig bleibt:

\(\begin{pmatrix} (3-{\color{blue}\lambda_i}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}\lambda_i}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}\lambda_i}) \end{pmatrix}\)

Im Folgenden berechnen wir den Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_1 = 1\).

\(\begin{pmatrix} (3-{\color{blue}1}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}1}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}1}) \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}
\underrightarrow{II) - I)}
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}
\underrightarrow{III) + I)}
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}
\)

Ausgeschrieben ergibt das

\(\begin{align*}
2x - y &= 0 \qquad \rightarrow \quad x = 0,5y\\
y - 2z &= 0 \qquad \rightarrow \quad y = 2z
\end{align*}\)

Daraus folgt: \(x = 0,5y = z\)

Das vorliegende Gleichungssystem besitzt zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte. Das bedeutet, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist und es unendlich viele Lösungen gibt. Eine spezielle Lösung erhält man, indem man für eine der Variablen einen beliebigen Wert einsetzt. Wir setzen \(x = 1\), um den ersten Eigenvektor zu berechnen.

Einsetzen von \(x = 1\) ergibt den Eigenvektor

\(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\)

Analog berechnen sich die Eigenvektoren zu den Eigenwerten \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\).

\(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

b) Eigenräume bestimmen

\(E_A(1) =\left\{\lambda \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \left|\right.  ~\lambda \in \mathbb{R}\right\}\)

\(E_A(2) =\left\{\lambda \cdot \!\! \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \left|\right.  ~\lambda \in \mathbb{R}\right\}\)

\(E_A(-1) =\left\{\lambda \cdot \!\! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \left|\right.  ~\lambda \in \mathbb{R}\right\}\)

c) Transformationsmatrix \(T\) aufstellen

Die Spalten der Transformationsmatrix sind die Eigenvektoren zu je einem der Eigenwerte (d.h. die Basen der Eigenräume).

\(T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Hinweis: Die Reihenfolge der Eigenvektoren als Spalten der Transformationsmatrix ist beliebig. Es gibt in diesem Fall also 6 Möglichkeiten die Transformationsmatrix aufzustellen. Damit die Überprüfung des Ergebnisses gelingt, muss die Reihenfolge der Eigenvektoren allerdings mit der Anordnung ihrer Eigenwerte in Schritt 3 übereinstimmen.

d) Inverse der Transformationsmatrix berechnen

\(T^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\)

e) Gleichung überprüfen

\(T^{-1} A T = D\)

\(\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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