Inverse Matrix
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine inverse Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Multipliziert man eine Zahl mit ihrem Kehrwert, lautet das Ergebnis stets $1$.
Was für Zahlen funktioniert, geht auch bei Matrizen (zumindest so ähnlich):
Multipliziert man eine Matrix $A$ mit ihrer inversen Matrix $\boldsymbol{A^{-1}}$, entsteht die Einheitsmatrix.
Vor einigen Jahrzehnten hat man zur inversen Matrix noch Kehrmatrix
gesagt. Bei diesem Begriff hört man noch die Verwandtschaft zum Kehrwert
heraus.
$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$
Der Kehrwert einer Zahl lässt sich relativ leicht berechnen. Das ist bei Matrizen leider anders. Um den Kehrwert einer Matrix, d. h. die inverse Matrix, zu berechnen, brauchen wir eines der Verfahren, die im nächsten Abschnitt erwähnt werden.
Inverse Matrix berechnen
Zur Berechnung der inversen Matrix gibt es im Wesentlichen zwei Verfahren:
- Inverse Matrix berechnen mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus
- Inverse Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten
Eine weitere (unpopuläre) Möglichkeit ist die Berechnung der inversen Matrix mithilfe der Cramerschen Regel.
Voraussetzung für die Existenz einer Inversen
Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen. Jedoch existiert nicht für jede quadratische Matrix eine Inverse.
Eine quadratische Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn gilt: $\det(A) \neq 0$.
Zu Matrizen, in denen Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, deren Determinante also $0$ beträgt, gibt es keine inverse Matrix.
Reguläre Matrizen
Eine quadratische Matrix $A$, deren Inverse $A^{-1}$ existiert, heißt regulär.
Singuläre Matrizen
Eine quadratische Matrix $A$, deren Inverse $A^{-1}$ nicht existiert, heißt singulär.
Rechenregeln
$$ \left(A \cdot B\right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} $$
Die Inverse eines Matrizenproduktes entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen in umgekehrter Reihenfolge.
$$ \left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T} $$
Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix.
$$ \left(A^{-1}\right)^{-1} = A $$
Die Inverse einer Matrix ist ebenfalls invertierbar.
Die Inverse der Inversen ist wieder die Matrix selbst.
$$ \left(k \cdot A\right)^{-1} = k^{-1} \cdot A^{-1} $$
Die Inverse einer Matrix multipliziert mit einem Skalar $k \neq 0$ entspricht der Inversen der Matrix multipliziert mit dem Kehrwert des Skalar.
