Inverse Matrix

In diesem Kapitel besprechen wir, was eine inverse Matrix ist.

Wiederholung: Potenzgesetze

Laut den Potenzgesetzen gilt:

\(2^1 \cdot 2^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\)

\(5^1 \cdot 5^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1\)

\(4^1 \cdot 4^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\)

Multipliziert man eine Zahl mit ihrem Kehrwert, lautet das Ergebnis stets 1.

Was für Zahlen funktioniert, geht auch bei Matrizen (zumindest so ähnlich):

Wenn man eine Matrix A mit ihrer inversen Matrix \(A^{-1}\) multipliziert, entsteht die Einheitsmatrix.

Vor einigen Jahrzehnten hat man zur inversen Matrix noch "Kehrmatrix" gesagt. Bei diesem Begriff hört man wenigstens noch die Verwandtschaft zum "Kehrwert" heraus.

Beispiel

\(A \cdot A^{-1} =
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E\)

Der Kehrwert einer Zahl lässt sich relativ leicht berechnen. Das ist bei Matrizen leider anders. Um den Kehrwert einer Matrix (d.h. die inverse Matrix) zu berechnen, brauchen wir eines der Verfahren, die im nächsten Abschnitt erwähnt werden.

Inverse Matrix berechnen

Zur Berechnung der inversen Matrix gibt es im Wesentlichen zwei Verfahren

Eine weitere (unpopuläre) Möglichkeit ist die Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Voraussetzung für die Existenz einer Inversen

Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen. Jedoch existiert nicht für jede quadratische Matrix eine Inverse. Falls für eine Matrix A die Inverse \(A^{-1}\) existiert, so heißt die Matrix regulär - andernfalls heißt sie singulär.

Oftmals lohnt es sich, vorher zu überprüfen, ob eine Matrix überhaupt eine Inverse besitzt:

Eine Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn gilt: \(\det(A) \neq 0\).

Merke: Zu Matrizen, in denen Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, deren Determinante also 0 beträgt, gibt es keine inverse Matrix.

Rechenregeln für inverse Matrizen

Regel 1

Die Inverse eines Matrizenproduktes entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen.

\(\left(A \cdot B\right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}\)

(Reihenfolge bei der Multiplikation beachten!)

Regel 2

Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix.

\(\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}\)

Regel 3

Die Inverse einer Matrix ist ebenfalls invertierbar.
Die Inverse der Inversen ist wieder die Matrix selbst.

\(\left(A^{-1}\right)^{-1} = A\)

Regel 4

Multipliziert man die inverse Matrix mit einem Skalar \(k \neq 0\), so gilt

\(\left(k \cdot A\right)^{-1} = k^{-1} \cdot A^{-1}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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