Eigenwerte berechnen

Im Artikel Eigenwerte und Eigenvektoren haben wir die Begriffe definiert und uns angeschaut, wie sich Eigenvektoren von anderen Vektoren graphisch unterscheiden.

In diesem Kapitel geht es um die Berechnung der Eigenwerte einer Matrix.

Das Eigenwertproblem

Wir multiplizieren eine Matrix \(A\) mit einem Vektor \(\vec{x}\) und erhalten als Ergebnis das \(\lambda\)-fache vom Vektor \(\vec{x}\).

\(A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x}\)

Dabei ist \(\vec{x}\) der Eigenvektor und \(\lambda\) der Eigenwert der Matrix \(A\).

Ausgeschrieben sieht die Sache folgendermaßen aus

\(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\)

Wir multiplizieren die Gleichung aus und erhalten folgendes Gleichungssystem

\(\begin{align*}
a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y = \lambda \cdot x\\
a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y = \lambda \cdot y
\end{align*}\)

Jetzt bringen wir alle Glieder auf die linke Seite

\(\begin{align*}
(a_{11} - \lambda) \cdot x + a_{12} \cdot y = 0\\
a_{21} \cdot x + (a_{22} - \lambda) \cdot y = 0
\end{align*}\)

Wir sehen sofort, dass das Gleichungssystem für \(x = 0\) und \(y = 0\) erfüllt ist. Es handelt sich hierbei um die sog. triviale Lösung. Wir haben vorausgesetzt, dass der Vektor \(\vec{x}\) nicht Null sein darf. Uns interessiert also ausschließlich die nichttriviale Lösung. Doch wie berechnet man sie?

Eine nichttriviale Lösung existiert genau dann, wenn die Determinante der Koeffizienten verschwindet (d.h. gleich Null wird).

\(\begin{align*}
\chi_A(\lambda) &= \begin{vmatrix}(a_{11} - \lambda) & a_{12} \\a_{21} & (a_{22} - \lambda)\end{vmatrix}\\
&= (a_{11} - \lambda) \cdot (a_{22} - \lambda) - a_{21} \cdot a_{12}\\
&=\lambda^2 - (a_{11}+a_{22}) \cdot \lambda + a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}
\end{align*}\)

Diese Gleichung heißt "charakteristisches Polynom" und ist in diesem Fall eine quadratische Gleichung (\(\lambda\) ist die Unbekannte). Jetzt müsste man die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung - z.B. mit Hilfe der Mitternachtsformel - berechnen. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix. Da bis jetzt alles sehr abstrakt war, schauen wir uns dazu am besten ein Zahlenbeispiel an.

Eigenwerte berechnen - Beispiel

Gesucht sind die Eigenwerte der Matrix \(A\)

\(A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}\)

Rechenansatz

\(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)

Ausmultiplizieren

\(\begin{align*}
3 \cdot x + 0 \cdot y = \lambda \cdot x\\
-9 x + 6 \cdot y = \lambda \cdot y
\end{align*}\)

Alle Glieder auf die linke Seite bringen

\(\begin{align*}
(3 - \lambda) \cdot x + 0 \cdot y = 0\\
-9 \cdot x + (6 - \lambda) \cdot y = 0
\end{align*}\)

Determinante berechnen

\(\begin{align*}
\chi_A(\lambda) &=\begin{vmatrix}(3 - \lambda) & 0 \\-9 & (6 - \lambda)\end{vmatrix}\\
&= (3 - \lambda) \cdot (6 - \lambda) - (-9) \cdot 0\\
& =\lambda^2 - 9\lambda + 18
\end{align*}\)

Mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnen wir die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung zu

\(\lambda_1 = 3, \qquad \lambda_2 = 6;\)

Dabei handelt es sich um die beiden Eigenwerte der Matrix \(A\).

Im nächsten Kapitel schauen wir uns an, wie man die Eigenvektoren der Matrix berechnet.

Eigenwerte berechnen in zwei Schritten

Normalerweise genügt es, wenn man das charakteristische Polynom berechnet und seine Nullstellen bestimmt. Auf diese Weise kann man sich eine Menge Schreibarbeit sparen!

Von folgender Matrix sollen die Eigenwerte berechnet werden

\(A = \begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\)

1.) Berechnen des charakteristischen Polynoms

\(\begin{align*}\chi_A(\lambda) &=\begin{vmatrix} (3-\lambda) & -1 & 0 \\ 2 & (0-\lambda) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-\lambda) \end{vmatrix}\\
&=(3-\lambda) \cdot (0-\lambda) \cdot (-1-\lambda) - (-1-\lambda) \cdot 2 \cdot (-1)\\
&= -\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2
\end{align*}\)

2.) Berechnen der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

(vgl. Kapitel "Kubische Gleichungen lösen")

\(\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 2, \qquad \lambda_3 = -1;\)

Dabei handelt es sich um die Eigenwerte der Matrix \(A\).

Herleitung des charakteristischen Polynoms

In Lehrbüchern und in Universitäten wird die Determinante zur Berechnung des charakteristischen Polynoms oftmals abstrakter hergeleitet. Der Vollständigkeit halber soll diese Darstellung hier auch noch Erwähnung finden.

\(A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x}\)

\(A \cdot \vec{x} - \lambda \cdot \vec{x} = 0 \qquad |\cdot E\)

\(E \cdot A \cdot \vec{x} - E \cdot \lambda \cdot \vec{x} = 0\)

\((E \cdot A - E \cdot \lambda) \cdot \vec{x} = 0 \qquad | E \cdot A = A\)

\((A - E \cdot \lambda) \cdot \vec{x} = 0\)

\(\det(A - E \cdot \lambda) = 0\)

Diese Determinante entspricht der Determinante, die wir bereits oben zur Berechnung des charakteristischen Polynoms verwendet haben.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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