Determinante

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Determinanten. Dabei stellt sich zunächst die Frage, was man unter einer Determinante eigentlich versteht?

Definition einer Determinante

Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist.

Beispiel

Gegeben ist eine quadratische Matrix \(A\)

\(A =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}\)

Die Determinante der Matrix \(A\) ist dann

\( det (A) =|A| =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{vmatrix}\)

Auf den ersten Blick unterscheidet sich eine Determinante nur durch eine andere Schreibweise von einer Matrix. Im Gegensatz zu Matrizen lassen sich Determinanten jedoch berechnen.

Berechnungsverfahren

In Abhängigkeit der Dimension der Determinanten gibt es verschiedene Vorgehensweisen bei der Berechnung. Für 2x2 und 3x3 Determinanten gibt es jeweils eine eigene Formel. Für Determinanten, die mehr als 3 Zeilen und Spalten haben, eignen sich der Laplace'sche Entwicklungssatz sowie der Gauß-Algorithmus.

Eigenschaften einer Determinante

Eigenschaft 1
Die Determinante einer Matrix und die Determinante ihrer Transponierten sind identisch

\(|A| = |A^T|\)

Eigenschaft 2
Vertauscht man zwei Zeilen (oder zwei Spalten) einer Matrix, ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Vertauscht man drei Zeilen (oder drei Spalten), ändert sich das Vorzeichen nicht.

\(\begin{vmatrix}{\color{blue}a_1}&{\color{blue}a_2}&{\color{blue}a_3}\\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}
= - \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\{\color{blue}a_1}&{\color{blue}a_2}&{\color{blue}a_3}\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}
= -\left[ -\begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ {\color{blue}a_1}&{\color{blue}a_2}&{\color{blue}a_3}\end{vmatrix}\right]\)

Eigenschaft 3
Multipliziert man eine Zeile (oder eine Spalte) der Matrix mit einer Zahl, wird die Determinante auch mit dieser Zahl multipliziert.

\(det(D) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix}{\color{blue}\lambda}\cdot a_1 &{\color{blue}\lambda}\cdot a_2 &{\color{blue}\lambda}\cdot a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}{\color{blue}\lambda}\cdot a_1 & a_2 & a_3 \\{\color{blue}\lambda}\cdot b_1 & b_2 & b_3 \\ {\color{blue}\lambda}\cdot c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} ={\color{blue}\lambda} \cdot det(D) \)

Eigenschaft 4
Die Determinante eines Produktes zweier Matrizen entspricht dem Produkt ihrer Determinanten.

\(|A \cdot B| = |A| \cdot |B|\)

Eigenschaft 5
Eine Determinante ist gleich null, wenn

  • eine Zeile/Spalte nur aus Nullen besteht
  • zwei Zeilen/Spalten gleich sind
  • eine Zeile/Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen/Spalten ist

Anwendungen

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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