Cramersche Regel

Vom Gleichungssystem zur Determinante

Die Formeln zur Berechnung der einzelnen Unbekannten (siehe unten) bestehen immer aus einem Zähler und einem Nenner. Der Nenner ist immer gleich! Es handelt sich dabei um die Determinante der Koeffizienten (linke Seite des Gleichungssystems).

Das Gleichungssystem lautet

\(\begin{align*}
1x_1 + 1x_2 + 1x_3 &= {\color{red}6}\\
2x_1 - 1x_2 + 2x_3 &= {\color{red}6}\\
3x_1 - 2x_2 + 1x_3 &= {\color{red}2}\\
\end{align*}\)

Die Determinante der Koeffizienten ist dementsprechend

\[det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 6;\]

Im Folgenden werden die Formeln zur Berechnung der Unbekannten mit Hilfe der Cramerschen Regel genauer betrachtet.

Berechnung von \(x_1\)

Der Zähler der Formel zur Berechnung von \(x_1\) ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 1. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.

\[x_{\color{red}1} = \frac{det(A_{\color{red}1})}{det(A)}= \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}6} & 1 & 1 \\ {\color{red}6} & -1 & 2 \\ {\color{red}2} & -2 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{6}{6} = 1;\]

Berechnung von \(x_2\)

Der Zähler der Formel zur Berechnung von \(x_2\) ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 2. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.

\[x_{\color{red}2} = \frac{det(A_{\color{red}2})}{det(A)}= \frac{\begin{vmatrix} 1 & {\color{red}6} & 1 \\ 2 & {\color{red}6} & 2 \\ 3 & {\color{red}2} & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{12}{6} = 2;\]

Berechnung von \(x_3\)

Der Zähler der Formel zur Berechnung von \(x_3\) ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 3. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.

\[x_{\color{red}3} = \frac{det(A_{\color{red}3})}{det(A)}= \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & {\color{red}6} \\ 2& -1 & {\color{red}6} \\ 3 & -2 & {\color{red}2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{18}{6} = 3;\]