Cramersche Regel
In diesem Kapitel schauen wir uns die Cramersche Regel an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein lineares Gleichungssystem?
- 3x3 Determinanten berechnen
Einordnung
Die Cramersche Regel ist eine mathematische Formel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Die Cramersche Regel kennen wir bereits aus dem Kapitel 3x3 Determinanten berechnen
. Das im Folgenden vorgestellte Verfahren eignet sich deshalb nur zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 3 Variablen.
Beispiel
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 1x_1 + 1x_2 + 1x_3 &= {\color{red}6} \\ 2x_1 - 1x_2 + 2x_3 &= {\color{red}6} \\ 3x_1 - 2x_2 + 1x_3 &= {\color{red}2} \end{align*} $$
mithilfe der Cramerschen Regel.
Die Formeln zur Berechnung der einzelnen Variablen bestehen aus einem Zähler und einem Nenner. Der Nenner ist immer gleich: Es handelt sich dabei um die Determinante der Koeffizienten (linke Seite des Gleichungssystems).
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 6 $$
$\boldsymbol{x_1}$ berechnen
Der Zähler der Formel zur Berechnung von $x_1$ ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 1. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist:
$$ x_{\color{red}1} = \frac{\det(A_{\color{red}1})}{\det(A)} = \frac{ \begin{vmatrix} {\color{red}6} & 1 & 1 \\ {\color{red}6} & -1 & 2 \\ {\color{red}2} & -2 & 1 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} } = \frac{6}{6} = 1 $$
$\boldsymbol{x_2}$ berechnen
Der Zähler der Formel zur Berechnung von $x_2$ ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 2. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.
$$ x_{\color{red}2} = \frac{\det(A_{\color{red}2})}{\det(A)} = \frac{ \begin{vmatrix} 1 & {\color{red}6} & 1 \\ 2 & {\color{red}6} & 2 \\ 3 & {\color{red}2} & 1 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{12}{6} = 2 $$
$\boldsymbol{x_3}$ berechnen
Der Zähler der Formel zur Berechnung von $x_3$ ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 3. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.
$$ x_{\color{red}3} = \frac{\det(A_{\color{red}3})}{\det(A)} = \frac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & {\color{red}6} \\ 2 & -1 & {\color{red}6} \\ 3 & -2 & {\color{red}2} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{18}{6} = 3 $$
