Cramersche Regel
In diesem Kapitel schauen wir uns die Cramersche Regel an.
Die Cramerische Regel ist eine mathematische Formel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Da das Verfahren hinter der Cramerschen Regel auf der Berechnung von Determinanten basiert, solltest du dir zunächst den Artikel "3x3 Determinanten berechnen" durchlesen.
Aufgabenstellung
Gegeben ist das Gleichungssystem
\(\begin{align*}
1x_1 + 1x_2 + 1x_3 &= {\color{red}6}\\
2x_1 - 1x_2 + 2x_3 &= {\color{red}6}\\
3x_1 - 2x_2 + 1x_3 &= {\color{red}2}\\
\end{align*}\)
Dieses Gleichungssystem soll mit Hilfe der Cramerschen Regel gelöst werden. Unter dem "Lösen linearer Gleichungssysteme" versteht man die Berechnung der Unbekannten - in diesem Fall von \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\).
Mathematik Video
In diesem Mathe Video (2:46 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt, wie man mit Hilfe der Cramerschen Regel ein lineares Gleichungssystem löst.
Vom Gleichungssystem zur Determinante
Die Formeln zur Berechnung der einzelnen Unbekannten (siehe unten) bestehen immer aus einem Zähler und einem Nenner. Der Nenner ist immer gleich! Es handelt sich dabei um die Determinante der Koeffizienten (linke Seite des Gleichungssystems).
Das Gleichungssystem lautet
\(\begin{align*}
1x_1 + 1x_2 + 1x_3 &= {\color{red}6}\\
2x_1 - 1x_2 + 2x_3 &= {\color{red}6}\\
3x_1 - 2x_2 + 1x_3 &= {\color{red}2}\\
\end{align*}\)
Die Determinante der Koeffizienten ist dementsprechend
\[det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 6;\]
Im Folgenden werden die Formeln zur Berechnung der Unbekannten mit Hilfe der Cramerschen Regel genauer betrachtet.
Berechnung von \(x_1\)
Der Zähler der Formel zur Berechnung von \(x_1\) ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 1. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.
\[x_{\color{red}1} = \frac{det(A_{\color{red}1})}{det(A)}= \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}6} & 1 & 1 \\ {\color{red}6} & -1 & 2 \\ {\color{red}2} & -2 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{6}{6} = 1;\]
Berechnung von \(x_2\)
Der Zähler der Formel zur Berechnung von \(x_2\) ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 2. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.
\[x_{\color{red}2} = \frac{det(A_{\color{red}2})}{det(A)}= \frac{\begin{vmatrix} 1 & {\color{red}6} & 1 \\ 2 & {\color{red}6} & 2 \\ 3 & {\color{red}2} & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{12}{6} = 2;\]
Berechnung von \(x_3\)
Der Zähler der Formel zur Berechnung von \(x_3\) ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 3. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.
\[x_{\color{red}3} = \frac{det(A_{\color{red}3})}{det(A)}= \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & {\color{red}6} \\ 2& -1 & {\color{red}6} \\ 3 & -2 & {\color{red}2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{18}{6} = 3;\]
Lineare Gleichungssysteme lösen
In der Mathematik gibt es einige Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
Die folgende Tabelle bietet eine kleine Übersicht über dieses Themenfeld
| Verfahren | Niveau |
| Additionsverfahren | Unterstufe/Mittelstufe |
| Einsetzungsverfahren | Unterstufe/Mittelstufe |
| Gleichsetzungsverfahren | Unterstufe/Mittelstufe |
| Cramersche Regel | Oberstufe/Studium |
| Gauß-Algorithmus | Oberstufe/Studium |
| Gauß-Jordan-Algorithmus | Oberstufe/Studium |
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider