Additionsverfahren

In diesem Kapitel schauen wir uns das Additionsverfahren an.

Voraussetzung

Du solltest dich bereits mit linearen Gleichungssystemen und linearen Gleichungen auskennen.

Wozu dient das Additionsverfahren?

Das Additionsverfahren ist ein Verfahren
zum Lösen von Gleichungssystemen.

Wie geht man bei dem Additionsverfahren vor?

Vorgehensweise

  1. Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst
  2. Überlege, was du tun musst, damit die Unbekannte wegfällt
  3. Berechne die Unbekannten

Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Bei größeren Gleichungssystemen (z. B. 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten) wendet man in der Regel den Gauß-Algorithmus an, welcher auf dem Additionsverfahren basiert.

Additionsverfahren - Beispiel

\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14 \\
x + 2y &= 8
\end{align*}\)

1.) Entscheide, welche Unbekannte du eliminieren willst

Ob wir \(x\) oder \(y\) eliminieren, ist völlig egal. Wir entscheiden uns für \(x\).

2.) Überlege, was du tun musst, damit die Unbekannte \(x\) wegfällt

Zunächst multiplizieren wir die 2. Zeile mit 2.

\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14 \\
2x + 4y &= 16 \qquad | 2 \cdot \text{2. Zeile}
\end{align*}\)

Ziehen wir jetzt von der 1. Zeile die 2. Zeile ab, fällt das \(x\) weg.

\(-y = -2 \qquad | \text{1. Zeile - 2. Zeile}\)

3.) Berechne die Unbekannten

Wir lösen die eben berechnete Gleichung nach \(y\) auf, indem wir mit (-1) multiplizieren.

\(-y = -2 \qquad |{\color{orange}\cdot (-1)}\)

\(-y {\color{orange} \: \cdot \: (-1)} = -2 {\color{orange} \: \cdot \: (-1)}\)

\(y = 2\)

Zuletzt setzen wir \(y = 2\) in eine der beiden ursprünglichen Zeilen ein, um \(x\) zu berechnen.

\(\begin{align*}
2x + 3 \cdot 2 &= 14 \\
x + 2 \cdot 2 &= 8
\end{align*}\)

Unabhängig davon, welche der beiden Zeilen wir nach \(x\) auflösen, das Ergebnis ist dasselbe:

\(x = 4\)

Damit haben wir mit Hilfe des Additionsverfahrens ein Gleichungssystem berechnet. Die Lösungen des Gleichungssystems sind \(x = 4\) und \(y = 2\).

Exkurs: Das kleinste gemeinsame Vielfache

Bestimmt hast du schon von dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen gehört.
Doch was hat das mit dem Additionsverfahren zu tun?

Bleiben wir bei unserem Beispiel:

\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14 \\
x + 2y &= 8
\end{align*}\)

Wenn wir das \(x\) eliminieren möchten, müssen wir zunächst die 2. Zeile mit 2 multiplizieren. Auf diese Weise sorgen wir nämlich dafür, dass die Faktoren vor dem \(x\) in beiden Zeilen gleich sind. Anschließend können wir die 2. Zeile von der 1. Zeile abziehen oder umgekehrt. In beiden Fällen fällt das \(x\) weg.

Dafür zu sorgen, dass die Faktoren vor dem \(x\) denselben Wert annehmen, ist nichts anderes als die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Faktoren:

  • In der 1. Zeile ist der Faktor vor dem \(x\) gleich 2.
  • In der 2. Zeile ist der Faktor vor dem \(x\) gleich 1.
    \(\Rightarrow\) Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 1 ist 2.

Jetzt weißt du, warum wir die 2. Zeile mit 2 multipliziert haben.

Hätten wir in unserem Beispiel

\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14 \\
x + 2y &= 8
\end{align*}\)

die Unbekannte \(y\) eliminieren wollen, so müssten wir das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 (= Faktor vor dem \(y\) in der 1. Zeile) und 2 (= Faktor vor dem \(y\) in der 2. Zeile) suchen. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 2 ist 6. Wir müssen also die 1. Zeile mit 2 multiplizieren und die 2. Zeile mit 3, dann erhalten wir:

\(\begin{align*}
4x + {\color{red}6}y &= 28 \\
3x + {\color{red}6}y &= 24
\end{align*}\)

Wie man sieht, kann man jetzt wieder ganz einfach die Unbekannte \(y\) eliminieren, indem man die eine von der anderen Zeile abzieht.

Offenbar ist es in diesem Beispiel mit weniger Rechenaufwand verbunden, die Unbekannte \(x\) zu eliminieren, da man dazu nur eine Zeile vervielfachen muss. Es lohnt sich also stets zu Beginn darüber nachzudenken, welche Unbekannte sich einfacher eliminieren lässt. Überlege dazu, welches kleinste gemeinsame Vielfache man einfacher berechnen kann.

Additionsverfahren: Mögliche Lösungen

Aus dem Artikel "Lineare Gleichungssysteme lösen" wissen wir, dass für ein lineares Gleichungssystem drei Lösungen denkbar sind. Jeder dieser Fälle wird im Folgenden anhand des Additionsverfahren ausführlich dargestellt.

1. Eindeutige Lösung

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
2x + y &= 4 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)

Wir entscheiden uns dafür, die Unbekannte \(x\) zu eliminieren. Dazu berechnen wir zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Faktoren vor der Unbekannten \(x\). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6. Damit in beiden Gleichungen eine 6 vor dem \(x\) steht, müssen wir die erste Gleichung mit 3 multiplizieren und die zweite Gleichung mit 2.

\(\begin{align*}
2x + y &= 4 \qquad |\cdot 3 \\
3x + 2y &= 5 \qquad |\cdot 2
\end{align*}\)

Auf diese Weise erhalten wir

\(\begin{align*}
{\color{orange}6}x + 3y &= 12 \\
{\color{orange}6}x + 4y &= 10
\end{align*}\)

Im nächsten Schritt ziehen wir von der ersten Zeile die zweite Zeile ab,
um die Unbekannte \(x\) in der ersten Zeile zu eliminieren.

\(\begin{align*}
6x + 3y &= 12 \qquad |\text{1. Zeile - 2. Zeile} \\
6x + 4y &= 10
\end{align*}\)

Auf diese Weise erhalten wir

\(-y = 2\)

Jetzt lösen wir die Gleichung nach \(y\) auf, dazu müssen wir nur noch mit -1 multiplizieren.

\(-y = 2 \qquad | \cdot (-1)\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = -2\)}}\)

Nachdem wir für die Unbekannte \(y\) eine Lösung berechnet haben, ist nun die Unbekannte \(x\) an der Reihe. Dazu setzen wir den eben berechneten \(y\)-Wert in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein. Wir entscheiden uns für die erste Gleichung.

\(2x + y = 4 \qquad | \text{mit } y = -2\)

\(2x  - 2 = 4\)

Jetzt müssen wir noch die Gleichung nach \(x\) auflösen.

\(2x - 2 = 4 \qquad |+2\)

\(2x = 6 \qquad |:2\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(x = 3\)}}\)

Die Lösung des Gleichungssystems lautet:
\(x = 3\) und \(y = -2\)

Es handelt sich um eine eindeutige Lösung.

2. Unendlich viele Lösungen

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
9x + 6y &= 15 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)

Wir entscheiden uns dafür, die Unbekannte \(x\) zu eliminieren. Dazu berechnen wir zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Faktoren vor der Unbekannten \(x\). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 9 und 3 ist 9. Damit in beiden Gleichungen eine 9 vor dem \(x\) steht, müssen wir die zweite Gleichung mit 3 multiplizieren.

\(\begin{align*}
9x + 6y &= 15 \\
3x + 2y &= 5 \qquad |\cdot 3
\end{align*}\)

Auf diese Weise erhalten wir

\(\begin{align*}
{\color{orange}9}x + 6y &= 15 \\
{\color{orange}9}x + 6y &= 15
\end{align*}\)

Im nächsten Schritt ziehen wir von der ersten Zeile die zweite Zeile ab,
um die Unbekannte \(x\) in der ersten Zeile zu eliminieren.

\(\begin{align*}
9x + 6y &= 15 \qquad |\text{1. Zeile - 2. Zeile} \\
9x + 6y &= 15
\end{align*}\)

Auf diese Weise erhalten wir

\({\fcolorbox{Red}{}{\(0 = 0\)}}\)

An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
...aber was bedeutet diese Gleichung?

Es handelt sich um eine allgemeingültige Aussage.
Das bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

3. Keine Lösung

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
6x + 4y &= 8 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)

Wir entscheiden uns dafür, die Unbekannte \(x\) zu eliminieren. Dazu berechnen wir zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Faktoren vor der Unbekannten \(x\). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 3 ist 6. Damit in beiden Gleichungen eine 6 vor dem \(x\) steht, müssen wir die zweite Gleichung mit 2 multiplizieren.

\(\begin{align*}
6x + 4y &= 8 \\
3x + 2y &= 5 \qquad |\cdot 2
\end{align*}\)

Auf diese Weise erhalten wir

\(\begin{align*}
{\color{orange}6}x + 4y &= 8 \\
{\color{orange}6}x + 4y &= 10
\end{align*}\)

Im nächsten Schritt ziehen wir von der ersten Zeile die zweite Zeile ab,
um die Unbekannte \(x\) in der ersten Zeile zu eliminieren.

\(\begin{align*}
6x + 4y &= 8 \qquad |\text{1. Zeile - 2. Zeile} \\
6x + 4y &= 10
\end{align*}\)

Auf diese Weise erhalten wir

\({\fcolorbox{Red}{}{\(0 = -2\)}}\)

An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
...aber was bedeutet diese Gleichung?

Es handelt sich um eine falsche Aussage.
Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Übrigens können wir neben dem Additionsverfahren auch das Einsetzungsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme einsetzen.

Lineare Gleichungssysteme lösen

In der Mathematik gibt es einige Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Die folgende Tabelle bietet eine kleine Übersicht über dieses Themenfeld

Verfahren Niveau
Additionsverfahren Unterstufe/Mittelstufe
Einsetzungsverfahren Unterstufe/Mittelstufe
Gleichsetzungsverfahren Unterstufe/Mittelstufe
Cramersche Regel Oberstufe/Studium
Gauß-Algorithmus Oberstufe/Studium
Gauß-Jordan-Algorithmus Oberstufe/Studium
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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