Kofaktormatrix

In diesem Kapitel lernen wir, wie man die Kofaktormatrix aufstellt. Wenn du bereits den Artikel über die Berechnung des Kofaktors gelesen hast, solltest du mit dem Aufstellen der Kofaktormatrix keine Probleme haben. Nichtsdestotrotz schauen wir uns noch einmal kurz an, wie man den Kofaktor berechnet.

Wiederholung: Kofaktor berechnen

Die Formel für den Kofaktor lautet

\(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}\)

Dabei ist \(A_{ij}\) der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktors \((-1)^{i+j}\) mit einer Unterdeterminante \(D_{ij}\) zusammensetzt.

Beispiel

\(D_{ij}\) ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht.

Der Vorzeichenfaktor \((-1)^{i+j}\) ordnet jeder Unterdeterminante ein Vorzeichen zu. Dabei ist \(i\) der Zeilenindex und \(j\) der Spaltenindex. Ist \(i+j\) gerade, so ist das Vorzeichen positiv. Ist \(i+j\) ungerade, so ist das Vorzeichen negativ.

Als Merkhilfe für den Vorzeichenfaktor dient das schachbrettartige Muster. Jeder Position ist eindeutig ein Vorzeichen zugeordnet. Man beginnt oben links mit einem Plus-Zeichen und wechselt anschließend in den Zeilen (und Spalten) Minus und Plus ab.

Berechne den Kofaktor \(A_{32}\).

\(|A| = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &\colorbox{yellow}{\(a_{32}\)} & a_{33} \end{vmatrix} \qquad \rightarrow \qquad |A| = \begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + &\colorbox{yellow}{\(-\)} & + \end{vmatrix}\)

\(A_{32} = (-1)^{\colorbox{yellow}{\(3+2\)}} \cdot \begin{vmatrix}{\color{blue}a_{11}} &\bcancel{a_{12}} &{\color{blue}a_{13}} \\{\color{blue}a_{21}} &\bcancel{a_{22}} &{\color{blue}a_{23}} \\\bcancel{a_{31}} &\bcancel{a_{32}} &\bcancel{a_{33}} \end{vmatrix} = \colorbox{yellow}{\(-\)}\begin{vmatrix}{\color{blue}a_{11}} &{\color{blue}a_{13}} \\{\color{blue}a_{21}} &{\color{blue}a_{23}} \end{vmatrix}\)

Dabei ist \(A_{32}\) der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation des Vorzeichenfaktors \((-1)^{3+2}\) mit der Unterdeterminante \(D_{32}\) zusammensetzt. \(D_{32}\) ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die 3-te Zeile und die 2-te Spalte streicht.

Kofaktormatrix aufstellen

Die Elemente der Kofaktormatrix \(Cof(A)\) sind die entsprechenden Kofaktoren.

\(Cof(A) =\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{pmatrix}\)

Kofaktormatrix einer 2x2 Matrix

\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \qquad \rightarrow \qquad |A| = \begin{vmatrix} + & - \\ - & + \end{vmatrix}\)

\(A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a} &\bcancel{b} \\\bcancel{c} &{\color{red}d} \end{vmatrix} ={\color{blue}d}\)

\(A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a} &\bcancel{b} \\{\color{red}c} &\bcancel{d} \end{vmatrix} ={\color{blue}-c}\)

\(A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a} &{\color{red}b} \\\bcancel{c} &\bcancel{d} \end{vmatrix} ={\color{blue}-b}\)

\(A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix}{\color{red}a} &\bcancel{b} \\\bcancel{c} &\bcancel{d} \end{vmatrix} ={\color{blue}a}\)

\(Cof(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}d} &{\color{blue}-c} \\{\color{blue}-b} &{\color{blue}a} \end{pmatrix} \)

Wegen dem Vorzeichenfaktor erhalten Elemente, deren Summe aus Zeilennummer \(i\) und Spaltennummer \(j\) ungerade ist, ein negatives Vorzeichen.

Kofaktormatrix einer 3x3 Matrix

\(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \qquad \rightarrow \qquad |A| = \begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{vmatrix}\)

\(Cof(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}\)

\(A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a} &\bcancel{b} &\bcancel{c} \\\bcancel{d} &{\color{blue}e} &{\color{blue}f} \\\bcancel{g} &{\color{blue}h} &{\color{blue}i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix}\)

\(A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a} &\bcancel{b} &\bcancel{c} \\{\color{blue}d} &\bcancel{e} &{\color{blue}f} \\{\color{blue}g} &\bcancel{h} &{\color{blue}i} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix}\)

\(A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a} &\bcancel{b} &\bcancel{c} \\{\color{blue}d} &{\color{blue}e} &\bcancel{f} \\{\color{blue}g} &{\color{blue}h} &\bcancel{i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}\)

\(A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a} &{\color{red}b} &{\color{red}c} \\\bcancel{d} &\bcancel{e} &\bcancel{f} \\\bcancel{g} &{\color{red}h} &{\color{red}i} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix}\)

\(A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix}{\color{red}a} &\bcancel{b} &{\color{red}c} \\\bcancel{d} &\bcancel{e} &\bcancel{f} \\{\color{red}g} &\bcancel{h} &{\color{red}i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c \\  g & i \end{vmatrix}\)

\(A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix}{\color{red}a} &{\color{red}b} &\bcancel{c} \\\bcancel{d} &\bcancel{e} &\bcancel{f} \\{\color{red}g} &{\color{red}h} &\bcancel{i} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix}\)

\(A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{a} &{\color{blue}b} &{\color{blue}c} \\\bcancel{d} &{\color{blue}e} &{\color{blue}f} \\\bcancel{g} &\bcancel{h} &\bcancel{i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix}\)

\(A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix}{\color{blue}a} &\bcancel{b} &{\color{blue}c} \\{\color{blue}d} &\bcancel{e} &{\color{blue}f} \\\bcancel{g} &\bcancel{h} &\bcancel{i} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & c \\  d & f \end{vmatrix}\)

\(A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix}{\color{blue}a} &{\color{blue}b} &\bcancel{c} \\{\color{blue}d} &{\color{blue}e} &\bcancel{f} \\\bcancel{g} &\bcancel{h} &\bcancel{i} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}\)

\(Cof(A) = \begin{pmatrix}
\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix}&
-\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix}&
\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}\\
-\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix}&
\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix}&
-\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix}\\
\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix}&
-\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix}&
\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}
\end{pmatrix}\)

Wegen dem Vorzeichenfaktor erhalten Elemente, deren Summe aus Zeilennummer \(i\) und Spaltennummer \(j\) ungerade ist, ein negatives Vorzeichen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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