Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren

Bevor du dich mit der linearen Abhängigkeit von Vektoren beschäftigst, solltest du dir das Kapitel über Linearkombination durchlesen.

Zwei Vektoren heißen linear abhängig, wenn es zwei Zahlen \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) gibt, die nicht beide Null sind, so dass gilt

\(\lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} = \vec{0}\)

Anders formuliert:

Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt,

\(\lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} = \vec{0}\)

in der mindestens einer der Koeffizienten \(\lambda_1\) bzw. \(\lambda_2\) ungleich Null ist.

Lineare Abhängigkeit im \(\mathbb{R}^2\) - Beispiel

Gegeben sind die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)

\(\vec{a}  = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}; \qquad \vec{b}  = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix};\)

Verfahren 1

Zwei Vektoren sind im \(R^2\) genau dann linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind. Unser Rechenansatz lautet aus diesem Grund

\(\vec{a}  = \lambda \cdot \vec{b}\)

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}  = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\)

Wenn es ein \(\lambda\) (ungleich Null!) gibt, das das Gleichungssystem löst, so sind die Vektoren linear abhängig.

\(\begin{align*}
1 &= \lambda \cdot  2 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 0,5\\
2 &= \lambda \cdot  4 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 0,5
\end{align*}\)

Da es ein \(\lambda\) (ungleich Null) gibt, das das Gleichungssystem löst, sind die Vektoren Vielfache voneinander und somit linear abhängig.

Verfahren 2

Im zweiten Verfahren untersuchen wir die Determinante, die sich aus den zwei Vektoren ergibt. Ist die entsprechende Determinante gleich Null, so sind die Vektoren linear abhängig.

\(|D|= \begin{vmatrix} 1 &  2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0\)

Da die Determinante gleich Null ist, sind die Vektoren linear abhängig.

Ps. Weißt du noch, wie man 2x2 Determinanten berechnet?

Eigenschaften von Vektoren im \(\mathbb{R}^2\)

  • 2 Vektoren sind im \(\mathbb{R}^2\) genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind.
  • 3 (oder mehr) Vektoren sind im \(\mathbb{R}^2\) stets linear abhängig.

Schauen wir uns die letzte Eigenschaft etwas genauer an und fragen uns:

Warum sind mehr als 2 Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) stets linear abhängig?

Der \(\mathbb{R}^2\) ist definiert als ein Vektorraum, der durch 2 linear unabhängige Vektoren aufgespannt wird. Diese zwei Vektoren nennt man Basis des Vektorraums. Meist verwendet man die sog. Standardbasis (kanonische Basis):

\(e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix};\)

Mit Hilfe dieser Basis kann jeder (!) andere Vektor des \(\mathbb{R}^2\) als Linearkombination geschrieben werden.

Beispiel: \(2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Wir können uns also keinen dritten Vektor im \(\mathbb{R}^2\) ausdenken, der nicht als Linearkombination der beiden Basisvektoren geschrieben werden könnte. Daraus folgt, dass 3 (oder mehr) Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) stets linear abhängig sind.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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