Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren
Bevor du dich mit der linearen Abhängigkeit von Vektoren beschäftigst, solltest du dir das Kapitel über Linearkombination durchlesen.
Zwei Vektoren heißen linear abhängig, wenn es zwei Zahlen \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) gibt, die nicht beide Null sind, so dass gilt
\(\lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} = \vec{0}\)
Anders formuliert:
Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt,
\(\lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} = \vec{0}\)
in der mindestens einer der Koeffizienten \(\lambda_1\) bzw. \(\lambda_2\) ungleich Null ist.
Lineare Abhängigkeit im \(\mathbb{R}^2\) - Beispiel
Gegeben sind die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)
\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}; \qquad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix};\)
Verfahren 1
Zwei Vektoren sind im \(R^2\) genau dann linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind. Unser Rechenansatz lautet aus diesem Grund
\(\vec{a} = \lambda \cdot \vec{b}\)
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\)
Wenn es ein \(\lambda\) (ungleich Null!) gibt, das das Gleichungssystem löst, so sind die Vektoren linear abhängig.
\(\begin{align*}
1 &= \lambda \cdot 2 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 0,5\\
2 &= \lambda \cdot 4 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 0,5
\end{align*}\)
Da es ein \(\lambda\) (ungleich Null) gibt, das das Gleichungssystem löst, sind die Vektoren Vielfache voneinander und somit linear abhängig.
Verfahren 2
Im zweiten Verfahren untersuchen wir die Determinante, die sich aus den zwei Vektoren ergibt. Ist die entsprechende Determinante gleich Null, so sind die Vektoren linear abhängig.
\(|D|= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0\)
Da die Determinante gleich Null ist, sind die Vektoren linear abhängig.
Ps. Weißt du noch, wie man 2x2 Determinanten berechnet?
Eigenschaften von Vektoren im \(\mathbb{R}^2\)
- 2 Vektoren sind im \(\mathbb{R}^2\) genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind.
- 3 (oder mehr) Vektoren sind im \(\mathbb{R}^2\) stets linear abhängig.
Schauen wir uns die letzte Eigenschaft etwas genauer an und fragen uns:
Warum sind mehr als 2 Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) stets linear abhängig?
Der \(\mathbb{R}^2\) ist definiert als ein Vektorraum, der durch 2 linear unabhängige Vektoren aufgespannt wird. Diese zwei Vektoren nennt man Basis des Vektorraums. Meist verwendet man die sog. Standardbasis (kanonische Basis):
\(e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix};\)
Mit Hilfe dieser Basis kann jeder (!) andere Vektor des \(\mathbb{R}^2\) als Linearkombination geschrieben werden.
Beispiel: \(2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
Wir können uns also keinen dritten Vektor im \(\mathbb{R}^2\) ausdenken, der nicht als Linearkombination der beiden Basisvektoren geschrieben werden könnte. Daraus folgt, dass 3 (oder mehr) Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) stets linear abhängig sind.
Hat dir meine Erklärung geholfen?
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider