Lineare Abhängigkeit zweier Vektoren
In diesem Kapitel schauen wir uns die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Zwei Vektoren heißen linear abhängig, wenn es zwei Zahlen $\lambda_1$ und $\lambda_2$ gibt, die nicht beide Null sind, so dass gilt:
$$ \lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} = \vec{0} $$
Alternative Formulierung
Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt,
$$ \lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} = \vec{0} $$
in der mindestens einer der Koeffizienten $\lambda_1$ bzw. $\lambda_2$ ungleich Null ist.
Verfahren 1
Zwei Vektoren des $\mathbb{R}^2$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind.
Unser Rechenansatz lautet folglich: $\vec{a} = \lambda \cdot \vec{b}$.
Sind die beiden Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}$ linear abhängig?
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix} $$
Wenn es ein $\lambda$ (ungleich Null!) gibt, das das Gleichungssystem löst, sind die Vektoren linear abhängig.
$$ \begin{align*} 1 &= \lambda \cdot 2 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 0{,}5\\ 2 &= \lambda \cdot 4 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 0{,}5 \end{align*} $$
Da es ein $\lambda$ (ungleich Null) gibt, das das Gleichungssystem löst, sind die Vektoren Vielfache voneinander und somit linear abhängig.
Verfahren 2
Eine Alternative zu dem obigen Verfahren ist die Untersuchung der Determinante, die sich aus den beiden Vektoren ergibt.
Zwei Vektoren des $\mathbb{R}^2$ sind genau dann linear abhängig, wenn ihre Determinante gleich Null ist.
Sind die beiden Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}$ linear abhängig?
$$ |D|= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0 $$
Da die Determinante gleich Null ist, sind die Vektoren linear abhängig.
Eigenschaften
Zwei Vektoren des $\mathbb{R}^2$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind.
Mehr als zwei Vektoren des $\mathbb{R}^2$ sind stets linear abhängig.
Begründung zur 2. Eigenschaft
Der $\mathbb{R}^2$ ist definiert als ein Vektorraum, der durch zwei linear unabhängige, also nicht parallele Vektoren aufgespannt wird. Diese zwei Vektoren nennt man Basis des Vektorraums. Meist verwendet man die sog. Standardbasis (kanonische Basis):
$$ e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}; $$
Mithilfe dieser Basis kann jeder (!) andere Vektor des $\mathbb{R}^2$ als Linearkombination geschrieben werden.
$$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Wir können uns keinen dritten Vektor im $\mathbb{R}^2$ ausdenken, der nicht als Linearkombination der beiden Basisvektoren geschrieben werden könnte. Daraus folgt, dass drei (oder mehr) Vektoren im $\mathbb{R}^2$ stets linear abhängig sind.
