Vektorsubtraktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die Vektorsubtraktion an.

Voraussetzung für die Subtraktion von Vektoren

Vektoren lassen sich nur dann subtrahieren, wenn sie gleicher Dimension und gleicher Art* sind.

Beispiel 1

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix}
\)

Eine Subtraktion von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

Beispiel 2

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}
\)

Eine Subtraktion von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist nicht möglich,
da sie zwar gleicher Art aber nicht gleicher Dimension sind.

Beispiel 3

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}
\)

Eine Subtraktion von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

Beispiel 4

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}
\)

Eine Subtraktion von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist nicht möglich,
da sie zwar gleicher Dimension aber nicht gleicher Art sind.
(Hinweis: Vektor \(\vec{a}\) ist ein Spaltenvektor, Vektor \(\vec{b}\) ein Zeilenvektor)

Beispiel 5

\(
\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix};
\qquad
\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}
\)

Eine Subtraktion von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.

*Es gibt zwei Arten von Vektoren: Spaltenvektoren und Zeilenvektoren.
Im Schulunterricht kommen in der Regel ausschließlich Spaltenvektoren vor.

Wie subtrahiert man Vektoren?

Vektoren werden subtrahiert, indem man ihre Komponenten subtrahiert.

a) Vektorsubtraktion im zweidimensionalen Raum (\(\mathbb{R}^2\))

\(
\vec{a}-\vec{b} =
\begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_a-x_b \\ y_a-y_b\end{pmatrix}
\)

Beispiel

\(
\begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}
\)

b) Vektorsubtraktion im dreidimensionalen Raum (\(\mathbb{R}^3\))

\(
\vec{a}-\vec{b} =
\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_a-x_b \\ y_a-y_b \\ z_a-z_b\end{pmatrix}
\)

Beispiel

\(
\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 6-1 \\ 5-2 \\ 4-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}
\)

Hinweis: Vektoren höherer Dimensionen werden nach demselben Prinzip subtrahiert.

Graphische Vektorsubtraktion

Gegeben sind die beiden Vektoren

\(\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}; \qquad \vec{q}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix};\)

Berechne \(\vec{p} - \vec{q}\) graphisch.

Zunächst wird der Vektor \(\vec{p}\) eingezeichnet.

Jetzt müssen wir den Vektor \(-\vec{q}\) bestimmen:
\(\vec{q}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(-\vec{q}=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Graphisch subtrahiert man zwei Vektoren, indem man den zweiten Vektor an der Spitze des ersten Vektors beginnen lässt, wobei die Koordinaten des zweiten Vektors aufgrund des negativen Vorzeichen vorher umgedreht werden.

Der Ergebnisvektor (hier rot eingezeichnet) ist der Vektor, der vom Fuß des ersten Vektors bis zur Spitze des zweiten Vektors reicht.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!