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Lineare Unabhängigkeit

Bevor du dich mit der linearen Unabhängigkeit von Vektoren beschäftigst, solltest du dir das Kapitel über Linearkombination durchlesen.

\(n\) Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt,

\(\lambda_1 \vec{a}_1 + \lambda_2 \vec{a}_2 + \dots + \lambda_n \vec{a}_n = \vec{0}\)

in der alle Koeffizienten \(\lambda_1 \dots \lambda_n\) gleich Null sind.

Anders formuliert:

Lineare Unabhängigkeit liegt vor, wenn gilt:

  • kein Vektor ist das Vielfache eines anderen Vektors und
  • kein Vektor lässt sich durch eine beliebige Kombination anderer Vektoren erzeugen

Auf lineare Unabhängigkeit prüfen

Wenn man wissen möchte, ob 2 Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) oder 3 Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) linear unabhängig sind, berechnet man die Determinante.

Ist die Determinante ungleich Null, so sind die Vektoren linear unabhängig.

Beispiel 1

Sind die beiden Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) linear unabhängig?

\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\  3 \end{pmatrix}; \qquad \vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\  4 \end{pmatrix};\)

Die Determinante der beiden Vektoren ist

\(|A|= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2\)

ungleich Null, weshalb die Vektoren linear unabhängig sind.

Beispiel 2

Sind die drei Vektoren \(\vec{e}_1\), \(\vec{e}_2\) und \(\vec{e}_3\) linear unabhängig?

\(\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};\)

Die Determinante der drei Vektoren ist

\(|B|= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\)

ungleich Null, weshalb die Vektoren linear unabhängig sind.

Ausblick

Weitere Möglichkeiten um lineare (Un-)Abhängigkeit festzustellen, werden in folgenden Artikel ausführlich besprochen

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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