Skalarmultiplikation

In der linearen Algebra wird unter einem Skalar meist nichts anderes als eine reelle Zahl verstanden. Hinter dem Begriff Skalarmultiplikation verbirgt sich also die Frage: "Was passiert mit einem Vektor, wenn ich ihn mit einer (reellen) Zahl multipliziere?". Zum Glück lässt sich diese Frage leicht beantworten!

Wird ein Vektor \(\vec{v}\) mit einer reellen Zahl \(\lambda\) multipliziert, wird jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert.

\[\lambda \cdot \vec{v} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot x \\ \lambda \cdot y \\ \lambda \cdot z \end{pmatrix}\]

Wem die Skalarmultiplikation (häufig auch S-Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt) noch nicht klar ist, sollte sich das folgende Beispiel anschauen.

Beispiel einer Skalarmultiplikation

Gegeben ist der Skalar \(\lambda\) und der Vektor \(\vec{v}\)

\(\lambda = 5; \qquad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix};\)

Die Skalarmultiplikation führt dann zu folgendem Ergebnis

\( \lambda \cdot \vec{v} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 2 \\ 5\cdot 1 \\ 5 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix}; \)

Skalarmultiplikation - Graphisch

Multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar (hier Variable c), wird der Vektor - in Abhängigkeit des Wertes des Skalars - verlängert, verkürzt oder er ändert seine Orientierung.

  • c > 1: Der Vektor wird verlängert.
  • 0 < c < 1: Der Vektor wird verkürzt.
  • c < 0: Der Vektor ändert seine Orientierung.

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Beispiel 1

\(c = 2\)
\(\Rightarrow\) Verlängerung

\(2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Beispiel 2

\(c = 0,5\)
\(\Rightarrow\) Verkürzung

\(0,5 \cdot \vec{a} = 0,5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \end{pmatrix}\)

Beispiel 3

\(c = -1\)
\(\Rightarrow\) Entgegengesetzte Orientierung

\(-1 \cdot \vec{a} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Beispiel 4

\(c = -2\)
\(\Rightarrow\) Entgegengesetzte Orientierung
\(\Rightarrow\) Verlängerung

\(-2 \cdot \vec{a} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Beispiel 5

\(c = -0,5\)
\(\Rightarrow\) Entgegengesetzte Orientierung
\(\Rightarrow\) Verkürzung

\(-0,5 \cdot \vec{a} = -0,5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -0,5 \end{pmatrix}\)

Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!