Abstand zweier Punkte
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man den Abstand zweier Punkte berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Anleitung
Verbindungsvektor berechnen
Länge des Vektors berechnen
Ob wir den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ oder den Verbindungsvektor $\overrightarrow{BA}$ berechnen, ändert nichts am Ergebnis.
Beispiele
Gegeben sind die beiden Punkte $A(7|4|2)$ und $B(3|7|2)$.
Berechne den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$.
Verbindungsvektor berechnen
$$ \begin{align*} \overrightarrow{AB} &= \vec{b} - \vec{a} \\[5px] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \\[5px] &= \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*} $$
Länge des Vektors berechnen
$$ \begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right| &= \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} \\[5px] &= \sqrt{16 + 9 + 0} \\[5px] &= \sqrt{25} \\[5px] &= 5 \end{align*} $$
Der Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$ beträgt 5 Längeneinheiten.
Gegeben sind die beiden Punkte $A(12|{-5}|{-5})$ und $B(8|3|{-4})$.
Berechne den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$.
Verbindungsvektor berechnen
$$ \begin{align*} \overrightarrow{AB} &= \vec{b} - \vec{a} \\[5px] &= \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix} \\[5px] &= \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*} $$
Länge des Vektors berechnen
$$ \begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right| &= \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + 1^2} \\[5px] &= \sqrt{16 + 64 + 1} \\[5px] &= \sqrt{81} \\[5px] &= 9 \end{align*} $$
Der Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$ beträgt 9 Längeneinheiten.
