Abstand zweier Punkte

Häufig ist nach dem Abstand zweier Punkte gefragt. Dabei handelt es sich um eine Standardaufgabe der Vektorrechnung, die immer nach folgendem Schema gelöst werden kann.

Vorgehensweise

  1. Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) der beiden Punkte \(A\) und \(B\) berechnen
    (siehe Artikel Vektor zwischen zwei Punkten)
  2. Länge des Vektors \(\overrightarrow{AB}\) berechnen
    (siehe Artikel Betrag eines Vektors)

Im Folgenden betrachten wir zwei Beispiele, in denen der Abstand zweier Punkte nach dem obigen Schema berechnet wird.

Abstand zwischen zwei Punkten - Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Punkte \(A(7|4|2)\) und \(B(3|7|2)\).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\).

1.) Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) berechnen

\[\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

2.) Länge des Vektors \(\overrightarrow{AB}\) berechnen

\[\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) beträgt 5 Längeneinheiten.

Abstand zwischen zwei Punkten - Beispiel 2

Gegeben sind die beiden Punkte  \(A(12|{-5}|{-5})\) und \(B(8|3|{-4})\).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\).

1.) Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) berechnen

\[\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}\]

2.) Länge des Vektors \(\overrightarrow{AB}\) berechnen

\[\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) beträgt 9 Längeneinheiten.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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