Allgemeine Zinsformel

In diesem Kapitel schauen wir uns die allgemeine Zinsformel etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Zinsrechnung

Die allgemeine Zinsformel dient der Berechnung der Zinsen für einen bestimmten Zeitraum.

Allgemeine Zinsformel

\[Z = \underbrace{K \cdot \frac{p}{100}}_{\text{Jahreszinsen}} \cdot \underbrace{\frac{t}{360}}_{\text{Zeitfaktor}}\]

Dabei gilt:

  • \(Z\) = Zinsbetrag
  • \(K\) = Kapital
  • \(p\) = Zinssatz (in Prozent)
  • \(t\) = Verzinsungszeit (in Tagen)

Nach der „deutschen (kaufmännischen) Zinsmethode“ besteht ein Monat aus 30 und ein Jahr aus 360 Tagen. In anderen Ländern werden oft andere Zinsmethoden eingesetzt.

Allgemeine Zinsformel - Video

In diesem Mathe Video (5:41 min) wird dir die allgemeine Zinsformel ausführlich erläutert.

Sind drei der vier Größen (\(Z\), \(K\), \(p\, \%\), \(t\)) bekannt, kann man die vierte berechnen.
Dazu stellt man die allgemeine Zinsformel nach der gesuchten Größe um.

a) Zinsbetrag berechnen

\[Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\]

Beispiel

„Sie nehmen bei Ihrer Bank einen Kredit über 5.000 € auf.
Die Laufzeit beträgt 6 Monate bei einem Zinssatz von 10 %.
Berechnen Sie die Zinszahlungen, die in diesem Zeitraum anfallen.“

Gegeben: \(K = 5000\) €, \(p\, \% = 10\, \%\) und \(t = 180\) (= 6x 30 Tage)
Gesucht: \(Z\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[Z = 5000 \cdot \frac{10}{100} \cdot \frac{180}{360} = 250\]

Es fallen 250 € Zinsen an.

b) Zinssatz berechnen

Wir müssen die Gleichung \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\) nach \(p\) auflösen:

\[\begin{align*}
Z &= K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} &&{\color{gray}|: K}\\[5pt]
\frac{Z}{K} &= \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} &&{\color{gray}|  : \frac{t}{360} \quad \hat{=} \quad \cdot \, \frac{360}{t}}\\[5pt]
\frac{Z}{K} \cdot \frac{360}{t} &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}| \cdot 100}\\[5pt]
\frac{Z}{K} \cdot \frac{360}{t} \cdot 100 &= p
\end{align*}\]

\[p = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{K \cdot t}\]

Beispiel

"Sie haben für einen Zeitraum von 10 Tagen 20.000 € auf Ihrem Sparbuch angelegt.
Für diese Anlage erhalten Sie am Ende des Jahres eine Zinsgutschrift über 50 €.
Mit welchem Zinssatz wurde Ihr Sparbuch verzinst?"

Gegeben: \(t = 10\) Tage, \(K = 20000\) € und \(Z = 50\) €
Gesucht: \(p\, \%\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[p = \frac{50 \cdot 100 \cdot 360}{20000 \cdot 10} = 9\]

Die Geldanlage wurde mit 9 % p.a. verzinst.

c) Laufzeit berechnen

Wir müssen die Gleichung \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\) nach \(t\) auflösen:

\[\begin{align*}
Z &= K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|: K}\\[5pt]
\frac{Z}{K} &= \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}| : \frac{p}{100} \quad \hat{=} \quad \cdot \, \frac{100}{p}}\\[5pt]
\frac{Z}{K} \cdot \frac{100}{p} &= \frac{t}{360} && {\color{gray}| \cdot 360}\\[5pt]
\frac{Z}{K} \cdot \frac{100}{p} \cdot 360 &= t
\end{align*}\]

\[t = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{K \cdot p}\]

Beispiel

„Für Ihren Kredit über 10.000 € müssen Sie 200 € Zinsen zahlen.
Der Zinssatz beträgt 15 %. Berechnen Sie die Kreditlaufzeit.“

Gegeben: \(K = 10000\) €, \(Z = 200\) € und \(p\, \% = 15\, \%\)
Gesucht: \(t\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[t = \frac{200 \cdot 100 \cdot 360}{10000 \cdot 15} = 48\]

Die Kreditlaufzeit beträgt 48 Tage.

d) Kapital berechnen

Wir müssen die Gleichung \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\) nach \(K\) auflösen:

\[\begin{align*}
Z &= K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|: \frac{p}{100} \quad \hat{=} \quad \cdot \, \frac{100}{p}}\\[5pt]
Z \cdot \frac{100}{p} &= K \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|: \frac{t}{360} \quad \hat{=} \quad \cdot \, \frac{360}{t}}\\[5pt]
Z \cdot \frac{100}{p} \cdot \frac{360}{t} &= K
\end{align*}\]

\[K = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{p \cdot t}\]

Beispiel

„Am Jahresende erhalten Sie auf Ihrem Sparbuch eine Zinsgutschrift über 500 €.
Es befand sich aber lediglich für einen Zeitraum von 3 Monaten Geld auf dem Sparbuch.
Der Zinssatz betrug 5 %. Welche Geldsumme befand sich auf dem Sparbuch?“

Gegeben: \(Z = 500\) €, \(p\, \% = 5\, \%\) und \(t = 90\) (= 3x 30 Tage)
Gesucht: \(K\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[K = \frac{500 \cdot 100 \cdot 360}{5 \cdot 90} = 40000\]

Auf dem Sparbuch befanden sich 40.000 Euro.

Zinsrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du alles zum Thema Zinsen:

Zinsrechnung Grundlagen der Zinsrechnung
> Allgemeine Zinsformel \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\)
Zinseszinsrechnung Grundlagen der Zinseszinsrechnung
> Zinseszinsformel \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\)

Zins- und Zinseszinsrechnung gehören zu den Anwendungen der Prozentrechnung.

Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

Zum Kontaktformular