Prozentwert
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Prozentwert ist und wie man ihn berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
Einordnung
Aus dem Grundlagenkapitel kennen wir die Formel
$$ \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} = \text{Prozentsatz } p\ \% $$
Bedeutung der Größen
- Prozentwert
$W$: die Größe des Anteils - Grundwert
$G$: das Ganze, also$100\ \%$ - Prozentsatz
$p\ \%$: das Verhältnis$\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$(umgerechnet in Hundertstel)
Sind zwei der drei Größen ($W$, $G$, $p\ \%$) bekannt, kann man die dritte berechnen.
Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.
Im Folgenden beschäftigen wir uns mit dem Fall, dass der Prozentwert $W$ gesucht ist.
Formel
Mithilfe einer Äquivalenzumformung lösen wir die Gleichung $\frac{W}{G} = \frac{p}{100}$ nach $W$ auf:
$$ \begin{align*} \frac{W}{G} &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\, \cdot G} \\[5px] W &= \frac{p}{100} \cdot G \end{align*} $$
Als Ergebnis erhalten wir die Formel zur Berechnung des Prozentwerts:
$$ (1) \text{ Prozentwert } W = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} \cdot \text{ Grundwert } G $$
Wegen $p\ \% = \frac{p}{100}$ können wir auch abkürzend schreiben:
$$ (2) \text{ Prozentwert } W = \text{Prozentsatz } p\ \% \cdot \text{ Grundwert } G $$
Tipp: Wenn du die Formel $\frac{W}{G} = \frac{p}{100}$ nach $W$ umstellen kannst, musst du dir die obigen beiden Formeln nicht merken.
Beispiele
$30\ \%$ der $500$ Schüler einer Schule spielen ein Musikinstrument.
Wie viele Schüler sind das?
Gegeben: $p\ \% = 30\ \%$ und $G = 500$
Gesucht: $W$
Formel aufschreiben
$$ \begin{align*} W &= p\ \% \cdot G \end{align*} $$
Werte einsetzen
$$ \begin{align*} \phantom{W} &= 30\ \% \cdot 500 \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{W} &= \frac{30}{100} \cdot 500 \\[5px] &= 150 \end{align*} $$
$150$ Schüler spielen ein Musikinstrument.
$85\ \%$ der $240$ Kinobesucher eines Actionfilms sind männlich.
Wie viele Kinobesucher sind das?
Gegeben: $p\ \% = 85\ \%$ und $G = 240$
Gesucht: $W$
Formel aufschreiben
$$ \begin{align*} W &= p\ \% \cdot G \end{align*} $$
Werte einsetzen
$$ \begin{align*} \phantom{W} &= 85\ \% \cdot 240 \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{W} &= \frac{85}{100} \cdot 240 \\[5px] &= 204 \end{align*} $$
$204$ Kinobesucher sind männlich.
$27\ \%$ der $3200$ Dorfbewohner sind Mitglied im örtlichen Sportverein.
Wie viele Dorfbewohner sind das?
Gegeben: $p\ \% = 27\ \%$ und $G = 3200$
Gesucht: $W$
Formel aufschreiben
$$ \begin{align*} W &= p\ \% \cdot G \end{align*} $$
Werte einsetzen
$$ \begin{align*} \phantom{W} &= 27\ \% \cdot 3200 \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{W} &= \frac{27}{100} \cdot 3200 \\[5px] &= 864 \end{align*} $$
$864$ Dorfbewohner sind Mitglied im örtlichen Sportverein.
