Prozentsatz

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Prozentsatz ist und wie man ihn berechnet.

Grundlagen

Prozentangaben sind immer Vergleiche zwischen zwei Zahlen.

Beispiel

„51 % der Einwohner Berlins sind weiblich.“
Hier wird die weibliche Bevölkerung Berlins mit der Gesamtbevölkerung Berlins verglichen.

Die Zahl, mit der etwas verglichen wird, heißt Grundwert \(G\).

Beispiel (Fortsetzung 1)

In unserem Beispiel ist die Gesamtbevölkerung Berlins der Grundwert.

Die Zahl, die vergleichen wird, heißt Prozentwert \(W\).

Beispiel (Fortsetzung 2)

In unserem Beispiel ist die weibliche Bevölkerung Berlins der Prozentwert.

Der Vergleich selbst kann als Bruch \(\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}\) angegeben werden. Wird dieser Bruch auf den Nenner 100 erweitert, so heißt der dazugehörige Zähler Prozentzahl \(p\). Die abkürzende Schreibweise davon (d. h. der Zähler allein mit Prozentzeichen) heißt Prozentsatz \(p\, \%\).

\[\frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} = \text{Prozentsatz } p\, \%\]

Bedeutung der Größen

  • Prozentwert \(W\): die Größe des Anteils
  • Grundwert \(G\): das Ganze, also 100 %
  • Prozentsatz \(p\, \%\): das Verhältnis \(\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}\)
                                  (umgerechnet in Hundertstel)

Sind zwei der drei Größen (\(W\), \(G\), \(p\, \%\)) bekannt, kann man die dritte berechnen.
Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.

Prozentsatz: Herleitung der Formel

Notwendiges Vorwissen: Äquivalenzumformungen

Wir wollen die Gleichung \(\frac{W}{G} = \frac{p}{100}\) nach \(p\) auflösen:

\[\begin{align*}
\frac{W}{G} &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\cdot 100}\\[5pt]
\frac{W}{G} \cdot 100 &= p
\end{align*}\]

Als Ergebnis erhalten wir die Formel zur Berechnung der Prozentzahl:

\[(1) \text{ Prozentzahl } p = \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} \cdot 100\]

Wegen \(p\, \% = \frac{p}{100}\) können wir alternativ schreiben:

\[(2) \text{ Prozentsatz } p\, \% = \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} \cdot 100\, \%\]

Diese beiden Formeln musst du dir nicht merken! Es reicht, wenn du die Formel \[\frac{W}{G} = \frac{p}{100} = p\, \%\] kennst und sie im Bedarfsfall nach der gesuchten Größe (z. B. \(p\)) umstellen kannst.

Prozentsatz berechnen

Aufgabe 1

150 der 500 Schüler einer Schule spielen ein Musikinstrument.
Wie viel Prozent sind das?

Lösung

Gegeben: \(W = 150\) und \(G = 500\)
Gesucht: \(p\, \%\)

\[\begin{align*}
p\, \%
&= \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\\[5pt]
&= \frac{150}{500} \cdot 100\, \%\\[5pt]
&= 30
\end{align*}\]

30 % der Schüler spielen ein Musikinstrument.

Aufgabe 2

204 der 240 Kinobesucher eines Actionfilms sind männlich.
Wie viel Prozent sind das?

Lösung

Gegeben: \(W = 204\) und \(G = 240\)
Gesucht: \(p\, \%\)

\[\begin{align*}
p\, \%
&= \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\\[5pt]
&= \frac{204}{240} \cdot 100\, \%\\[5pt]
&= 85\, \%
\end{align*}\]

85 % der Kinobesucher sind männlich.

Aufgabe 3

864 der 3200 Dorfbewohner sind Mitglied im örtlichen Sportverein.
Wie viel Prozent sind das?

Lösung

Gegeben: \(W = 864\) und \(G = 3200\)
Gesucht: \(p\, \%\)

\[\begin{align*}
p\, \%
&= \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\\[5pt]
&= \frac{864}{3200} \cdot 100\, \%\\[5pt]
&= 27\, \%
\end{align*}\]

27 % der Dorfbewohner sind Mitglied im örtlichen Sportverein.

Prozentrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:

Prozentrechnung  
> Prozentwert \[W = \frac{p}{100} \cdot G\]
> Prozentsatz \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\]
>> Prozent  
>> Promille  
> Grundwert \[G = W \cdot \frac{100}{p}\]
Prozentuale Veränderung \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\)
> Prozentuale Zunahme \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\)
> Prozentuale Abnahme \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\)
> Prozentfaktor \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
> Prozentpunkte = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen

Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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