Prozentsatz
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Prozentsatz ist und wie man ihn berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Prozentrechnung
Einordnung
Aus dem Grundlagenkapitel kennen wir die Formel
$$ \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} = \frac{\text{Prozentzahl } p}{100} = \text{Prozentsatz } p\ \% $$
Bedeutung der Größen
- Prozentwert
$W$: die Größe des Anteils - Grundwert
$G$: das Ganze, also$100\ \%$ - Prozentsatz
$p\ \%$: das Verhältnis$\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$(umgerechnet in Hundertstel)
Sind zwei der drei Größen ($W$, $G$, $p\ \%$) bekannt, kann man die dritte berechnen.
Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.
Im Folgenden beschäftigen wir uns mit dem Fall, dass der Prozentsatz $p\ \%$ gesucht ist.
Formel
Mithilfe einer Äquivalenzumformung lösen wir die Gleichung $\frac{W}{G} = \frac{p}{100}$ nach $p$ auf:
$$ \begin{align*} \frac{W}{G} &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{p}{100} &= \frac{W}{G} &&{\color{gray}|\, \cdot 100} \\[5px] p &= \frac{W}{G} \cdot 100 \end{align*} $$
Als Ergebnis erhalten wir die Formel zur Berechnung der Prozentzahl:
$$ (1) \text{ Prozentzahl } p = \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} \cdot 100 $$
Wegen $p\ \% = \frac{p}{100}$ können wir alternativ schreiben:
$$ (2) \text{ Prozentsatz } p\ \% = \frac{\text{Prozentwert } W}{\text{Grundwert } G} \cdot 100\ \% $$
Tipp: Wenn du die Formel $\frac{W}{G} = \frac{p}{100}$ nach $p$ umstellen kannst, musst du dir die obigen beiden Formeln nicht merken.
Beispiele
$150$ der $500$ Schüler einer Schule spielen ein Musikinstrument.
Wie viel Prozent sind das?
Gegeben: $W = 150$ und $G = 500$
Gesucht: $p\ \%$
Formel aufschreiben
$$ \begin{align*} p\ \% &= \frac{W}{G} \cdot 100\ \% \end{align*} $$
Werte einsetzen
$$ \begin{align*} \phantom{p\ \%} &= \frac{150}{500} \cdot 100\ \% \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{p\ \%} &= 30 \end{align*} $$
$30\ \%$ der Schüler spielen ein Musikinstrument.
$204$ der $240$ Kinobesucher eines Actionfilms sind männlich.
Wie viel Prozent sind das?
Gegeben: $W = 204$ und $G = 240$
Gesucht: $p\ \%$
Formel aufschreiben
$$ \begin{align*} p\ \% &= \frac{W}{G} \cdot 100\ \% \end{align*} $$
Werte einsetzen
$$ \begin{align*} \phantom{p\ \%} &= \frac{204}{240} \cdot 100\ \% \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{p\ \%} &= 85\ \% \end{align*} $$
$85\ \%$ der Kinobesucher sind männlich.
$864$ der $3200$ Dorfbewohner sind Mitglied im örtlichen Sportverein.
Wie viel Prozent sind das?
Gegeben: $W = 864$ und $G = 3200$
Gesucht: $p\ \%$
Formel aufschreiben
$$ \begin{align*} p\ \% &= \frac{W}{G} \cdot 100\ \% \end{align*} $$
Werte einsetzen
$$ \begin{align*} \phantom{p\ \%} &= \frac{864}{3200} \cdot 100\ \% \end{align*} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{p\ \%} &= 27\ \% \end{align*} $$
$27\ \%$ der Dorfbewohner sind Mitglied im örtlichen Sportverein.
