Potenzen dividieren
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Potenzen dividiert.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Potenz?
Voraussetzung
Es muss eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt sein, damit eine Division möglich ist:
- Gleiche Basis
- Gleicher Exponent
- Gleiche Basis und gleicher Exponent
Anleitung
Gleiche Basis
$$ {\color{green}x}^a : {\color{green}x}^b = \frac{{\color{green}x}^a}{{\color{green}x}^b} = {\color{green}x}^{a-b} $$
In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
$$ \frac{{\color{green}2}^4}{{\color{green}2}^2} = {\color{green}2}^{4-2} = {\color{green}2}^2 $$
$$ \frac{{\color{green}5}^3}{{\color{green}5}^4} = {\color{green}5}^{3-4} = {\color{green}5}^{-1} $$
Gleicher Exponent
$$ a^{\color{green}n} : b^{\color{green}n} = \frac{a^{\color{green}n}}{b^{\color{green}n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{\color{green}n} $$
In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
$$ 3^{\color{green}2} : 4^{\color{green}2} = \frac{3^{\color{green}2}}{4^{\color{green}2}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{\color{green}2} $$
$$ 8^{\color{green}5} : 4^{\color{green}5} = \frac{8^{\color{green}5}}{4^{\color{green}5}} = \left(\frac{8}{4}\right)^{\color{green}5} $$
Wenn wir dieses Rechengesetz anwenden, müssen wir nur einmal – anstatt zweimal – potenzieren. In vielen Fällen sparen wir uns so einiges an Schreibarbeit.
Gleiche Basis und gleicher Exponent
$$ {\color{green}a}^{\color{green}n} : {\color{green}a}^{\color{green}n} = \frac{{\color{green}a}^{\color{green}n}}{{\color{green}a}^{\color{green}n}} = \left(\frac{{\color{green}a}}{{\color{green}a}}\right)^{\color{green}n} = 1^{\color{green}n} = 1 $$
In Worten: Die Division zweier Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten ergibt $1$.
$$ {\color{green}3}^{\color{green}2} : {\color{green}3}^{\color{green}2} = \frac{{\color{green}3}^{\color{green}2}}{{\color{green}3}^{\color{green}2}} = \left(\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}3}}\right)^{\color{green}2} = 1^{\color{green}2} = 1 $$
$$ {\color{green}4}^{\color{green}5} : {\color{green}4}^{\color{green}5} = \frac{{\color{green}4}^{\color{green}5}}{{\color{green}4}^{\color{green}5}} = \left(\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}4}}\right)^{\color{green}5} = 1^{\color{green}5} = 1 $$
Wann keine Division möglich ist
Aus der Voraussetzung für die Division von Potenzen folgt, dass in dem folgenden Fall kein weiteres Zusammenfassen der Potenzen möglich ist:
