Potenzen dividieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Dividieren von Potenzen.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Potenzen zu lesen.

Was ist eine Potenz? (Wiederholung)

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise
für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.

Konkrete Beispiele

\[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\]

\[3 \cdot 3 = 3^2\]

Allgemeines Beispiel

\[x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n = x^n\]

Dabei ist \({\color{red}x}\) die Basis und \({\color{maroon}n}\) der Exponent der Potenz \({\color{red}x}^{\color{maroon}n}\) (sprich: x hoch n).

Voraussetzung für das Dividieren von Potenzen

Es muss eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt sein, damit eine Division möglich ist:

gleiche Basis
gleicher Exponent
gleiche Basis und gleicher Exponent

1. Gleiche Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert,
indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

\[{\color{green}x}^a : {\color{green}x}^b = \frac{{\color{green}x}^a}{{\color{green}x}^b} = {\color{green}x}^{a-b}\]

Beispiele

\[\frac{{\color{green}2}^4}{{\color{green}2}^2} = {\color{green}2}^{4-2} = {\color{green}2}^2\]

\[\frac{{\color{green}5}^3}{{\color{green}5}^4} = {\color{green}5}^{3-4} = {\color{green}5}^{-1}\]

2. Gleicher Exponent

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert,
indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

\[a^{\color{green}n} : b^{\color{green}n} = \frac{a^{\color{green}n}}{b^{\color{green}n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{\color{green}n}\]

Bei Beachtung dieses Rechengesetzes, muss man nur einmal - anstatt zweimal - potenzieren. In vielen Fällen spart man sich so einiges an Schreibarbeit.

Beispiele

\[3^{\color{green}2} : 4^{\color{green}2} = \frac{3^{\color{green}2}}{4^{\color{green}2}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{\color{green}2}\]

\[8^{\color{green}5} : 4^{\color{green}5} = \frac{8^{\color{green}5}}{4^{\color{green}5}} = \left(\frac{8}{4}\right)^{\color{green}5}\]

3. Gleiche Basis und gleicher Exponent

Die Division zweier Potenzen
mit gleicher Basis und gleichem Exponenten ergibt 1.

\[{\color{green}a}^{\color{green}n} : {\color{green}a}^{\color{green}n} = \frac{{\color{green}a}^{\color{green}n}}{{\color{green}a}^{\color{green}n}} = \left(\frac{{\color{green}a}}{{\color{green}a}}\right)^{\color{green}n} = 1^{\color{green}n} = 1\]

Beispiele

\[{\color{green}3}^{\color{green}2} : {\color{green}3}^{\color{green}2} = \frac{{\color{green}3}^{\color{green}2}}{{\color{green}3}^{\color{green}2}} = \left(\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}3}}\right)^{\color{green}2} = 1^{\color{green}2} = 1\]

\[{\color{green}4}^{\color{green}5} : {\color{green}4}^{\color{green}5} = \frac{{\color{green}4}^{\color{green}5}}{{\color{green}4}^{\color{green}5}} = \left(\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}4}}\right)^{\color{green}5} = 1^{\color{green}5} = 1\]

VORSICHT! Das Dividieren von Potenzen ist nicht möglich, wenn weder die Basen noch die Exponenten der an der Division beteiligten Potenzen übereinstimmen.

Beispiele

\[\frac{2^3}{4^5}\]

\[\frac{a^n}{b^m}\]

Mehr zur Potenzrechnung

Im Zusammenhang mit Potenzen sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Potenzgesetze	Alle Potenzgesetze im Überblick!
Potenzen addieren	\(ax^n + bx^n = (a+b)x^n\)
Potenzen subtrahieren	\(ax^n - bx^n = (a-b)x^n\)
Potenzen multiplizieren	gleiche Basis \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\) gleicher Exponent \(a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n\)
Potenzen dividieren	gleiche Basis \(x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\) gleicher Exponent \(a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)
Potenzen potenzieren	\(\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}\)

Bei dem Thema Potenzrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

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