Teilerfremd

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Zahlen teilerfremd sind.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Wenn wir die Teilermengen von \(12\) und \(18\) auf Gemeinsamkeiten untersuchen,

\(T_{12} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, 4, \class{mb-green}{6}, 12\}\)

\(T_{18} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{6}, 9, 18\}\)

dann stellen wir fest, dass die Teiler \(\class{mb-green}{1}\), \(\class{mb-green}{2}\), \(\class{mb-green}{3}\) und \(\class{mb-green}{6}\) in beiden Mengen vorkommen.

Die meisten Zahlen haben aber außer die \(1\), die bekanntlich Teiler jeder natürlichen Zahl ist, keine weiteren gemeinsamen Teiler. Wir wollen diesen Zahlen einen eigenen Namen geben:

Zahlen, die außer \(1\) keine gemeinsamen Teiler haben, heißen teilerfremd.

Synonym

  • relativ prim

Beispiele

  • \(\text{gT}(3, 7) = \{1\}\)
    (Zwei verschiedene Primzahlen sind immer teilerfremd.)

  • \(\text{gT}(14, 15) = \{1\}\)
    (Zwei Zahlen, deren Differenz 1 ist, sind immer teilerfremd.)

  • \(\text{gT}(21, 23) = \{1\}\)
    (Zwei ungerade Zahlen, deren Differenz 2 ist, sind immer teilerfremd.)

Zahlen auf Teilerfremdheit prüfen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um Zahlen auf Teilerfremdheit zu prüfen.

a) Teilermengen bestimmen

Beispiele

  • Prüfe, ob \(8\) und \(15\) teilerfremd sind.

    1) Teilermengen bestimmen
    \(T_8 = \{1, 2, 4, 8\}\)
    \(T_{15} = \{1, 3, 5, 15\}\)

    2) Gemeinsame Teiler unterstreichen
    \(T_8 = \{\underline{1}, 2, 4, 8\}\)
    \(T_{15} = \{\underline{1}, 3, 5, 15\}\)

    3) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
    \(\text{gT}(8, 15) = \{1\}\) \(\Rightarrow\) \(8\) und \(15\) sind teilerfremd

  • Prüfe, ob \(14\) und \(16\) teilerfremd sind.

    1) Teilermengen bestimmen
    \(T_{14} = \{1, 2, 7, 14\}\)
    \(T_{16} = \{1, 2, 4, 8, 16\}\)

    2) Gemeinsame Teiler unterstreichen
    \(T_{14} = \{\underline{1}, \underline{2}, 7, 14\}\)
    \(T_{16} = \{\underline{1}, \underline{2}, 4, 8 , 16\}\)

    3) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
    \(\text{gT}(14, 16) = \{1, 2\}\) \(\Rightarrow\) \(14\) und \(16\) sind nicht teilerfremd

b) ggT bestimmen

Beispiele

  • Prüfe, ob \(8\) und \(15\) teilerfremd sind.

    1) Primfaktorzerlegung
    \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\)
    \(15 = 3 \cdot 5\)

    2) Gemeinsame Primfaktoren unterstreichen
    \(8\) und \(15\) haben keine gemeinsamen Primfaktoren.

    3) Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren
    \(8\) und \(15\) haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
    \(\Rightarrow \text{ggT}(8, 15) = 1\) \(\quad\Rightarrow\) \(8\) und \(15\) sind teilerfremd

  • Prüfe, ob \(14\) und \(16\) teilerfremd sind.

    1) Primfaktorzerlegung
    \(14 = 2 \cdot 7\)
    \(16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\)

    2) Gemeinsame Primfaktoren unterstreichen
    \(14 = \underline{2} \cdot 7\)
    \(16 = \underline{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\)

    3) Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren
    \(14\) und \(16\) haben nur einen gemeinsamen Primfaktor.
    \(\Rightarrow \text{ggT}(14, 16) = 2\) \(\quad\Rightarrow\) \(14\) und \(16\) sind nicht teilerfremd
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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