Teilerfremd
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Zahlen teilerfremd sind.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Wenn wir die Teilermengen von $12$ und $18$ auf Gemeinsamkeiten untersuchen,
$$ T_{12} = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, 4, {\color{green}6}, 12\} $$
$$ T_{18} = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}6}, 9, 18\} $$
dann stellen wir fest, dass die Teiler ${\color{green}1}$, ${\color{green}2}$, ${\color{green}3}$ und ${\color{green}6}$ in beiden Mengen vorkommen.
Die meisten Zahlen haben aber außer die $1$, die bekanntlich Teiler jeder natürlichen Zahl ist, keine weiteren gemeinsamen Teiler. Wir wollen diesen Zahlen einen eigenen Namen geben.
Definition
Zahlen, die außer $1$ keine gemeinsamen Teiler haben, heißen teilerfremd.
Synonym
- relativ prim
Zwei verschiedene Primzahlen sind immer teilerfremd.
Zwei Zahlen, deren Differenz 1 ist, sind immer teilerfremd.
Zwei ungerade Zahlen, deren Differenz 2 ist, sind immer teilerfremd.
Zahlen auf Teilerfremdheit prüfen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um Zahlen auf Teilerfremdheit zu prüfen.
Teilermengen bestimmen
Prüfe, ob $8$ und $15$ teilerfremd sind.
Teilermengen bestimmen
$$ T_8 = \{1, 2, 4, 8\} $$
$$ T_{15} = \{1, 3, 5, 15\} $$
Gemeinsame Teiler unterstreichen
$$ T_8 = \{\underline{1}, 2, 4, 8\} $$
$$ T_{15} = \{\underline{1}, 3, 5, 15\} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ \text{gT}(8, 15) = \{1\} $$
$\Rightarrow$ $8$ und $15$ sind teilerfremd
Prüfe, ob $14$ und $16$ teilerfremd sind.
Teilermengen bestimmen
$$ T_{14} = \{1, 2, 7, 14\} $$
$$ T_{16} = \{1, 2, 4, 8, 16\} $$
Gemeinsame Teiler unterstreichen
$$ T_{14} = \{\underline{1}, \underline{2}, 7, 14\} $$
$$ T_{16} = \{\underline{1}, \underline{2}, 4, 8 , 16\} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ \text{gT}(14, 16) = \{1, 2\} $$
$\Rightarrow$ $14$ und $16$ sind nicht teilerfremd
ggT bestimmen
Prüfe, ob $8$ und $15$ teilerfremd sind.
Primfaktorzerlegung
$$ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 $$
$$ 15 = 3 \cdot 5 $$
Gemeinsame Primfaktoren unterstreichen
$8$ und $15$ haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren
$8$ und $15$ haben keine gemeinsamen Primfaktoren.
$$ \Rightarrow \text{ggT}(8, 15) = 1 $$
$\Rightarrow$ $8$ und $15$ sind teilerfremd
Prüfe, ob $14$ und $16$ teilerfremd sind.
Primfaktorzerlegung
$$ 14 = 2 \cdot 7 $$
$$ 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$
Gemeinsame Primfaktoren unterstreichen
$$ 14 = \underline{2} \cdot 7 $$
$$ 16 = \underline{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$
Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren
$14$ und $16$ haben nur einen gemeinsamen Primfaktor.
$$ \Rightarrow \text{ggT}(14, 16) = 2 $$
$\Rightarrow$ $14$ und $16$ sind nicht teilerfremd
