Teilerfremd

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Zahlen teilerfremd sind.

Einordnung 

Wenn wir die Teilermengen von $12$ und $18$ auf Gemeinsamkeiten untersuchen,

$$ T_{12} = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, 4, {\color{green}6}, 12\} $$

$$ T_{18} = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}6}, 9, 18\} $$

dann stellen wir fest, dass die Teiler ${\color{green}1}$, ${\color{green}2}$, ${\color{green}3}$ und ${\color{green}6}$ in beiden Mengen vorkommen.

Die meisten Zahlen haben aber außer die $1$, die bekanntlich Teiler jeder natürlichen Zahl ist, keine weiteren gemeinsamen Teiler. Wir wollen diesen Zahlen einen eigenen Namen geben.

Definition 

Zahlen, die außer $1$ keine gemeinsamen Teiler haben, heißen teilerfremd.

Synonym

  • relativ prim

Zwei verschiedene Primzahlen sind immer teilerfremd.

Beispiel 1 

$$ \text{gT}(3, 7) = \{1\} $$

Zwei Zahlen, deren Differenz 1 ist, sind immer teilerfremd.

Beispiel 2 

$$ \text{gT}(14, 15) = \{1\} $$

Zwei ungerade Zahlen, deren Differenz 2 ist, sind immer teilerfremd.

Beispiel 3 

$$ \text{gT}(21, 23) = \{1\} $$

Zahlen auf Teilerfremdheit prüfen 

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um Zahlen auf Teilerfremdheit zu prüfen.

Teilermengen bestimmen 

Beispiel 4 

Prüfe, ob $8$ und $15$ teilerfremd sind.

Teilermengen bestimmen

$$ T_8 = \{1, 2, 4, 8\} $$

$$ T_{15} = \{1, 3, 5, 15\} $$

Gemeinsame Teiler unterstreichen

$$ T_8 = \{\underline{1}, 2, 4, 8\} $$

$$ T_{15} = \{\underline{1}, 3, 5, 15\} $$

Ergebnis aufschreiben

$$ \text{gT}(8, 15) = \{1\} $$

$\Rightarrow$ $8$ und $15$ sind teilerfremd

Beispiel 5 

Prüfe, ob $14$ und $16$ teilerfremd sind.

Teilermengen bestimmen

$$ T_{14} = \{1, 2, 7, 14\} $$

$$ T_{16} = \{1, 2, 4, 8, 16\} $$

Gemeinsame Teiler unterstreichen

$$ T_{14} = \{\underline{1}, \underline{2}, 7, 14\} $$

$$ T_{16} = \{\underline{1}, \underline{2}, 4, 8 , 16\} $$

Ergebnis aufschreiben

$$ \text{gT}(14, 16) = \{1, 2\} $$

$\Rightarrow$ $14$ und $16$ sind nicht teilerfremd

ggT bestimmen 

Beispiel 6 

Prüfe, ob $8$ und $15$ teilerfremd sind.

Primfaktorzerlegung

$$ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 $$

$$ 15 = 3 \cdot 5 $$

Gemeinsame Primfaktoren unterstreichen

$8$ und $15$ haben keine gemeinsamen Primfaktoren.

Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren

$8$ und $15$ haben keine gemeinsamen Primfaktoren.

$$ \Rightarrow \text{ggT}(8, 15) = 1 $$

$\Rightarrow$ $8$ und $15$ sind teilerfremd

Beispiel 7 

Prüfe, ob $14$ und $16$ teilerfremd sind.

Primfaktorzerlegung

$$ 14 = 2 \cdot 7 $$

$$ 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$

Gemeinsame Primfaktoren unterstreichen

$$ 14 = \underline{2} \cdot 7 $$

$$ 16 = \underline{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$

Gemeinsame Primfaktoren miteinander multiplizieren

$14$ und $16$ haben nur einen gemeinsamen Primfaktor.

$$ \Rightarrow \text{ggT}(14, 16) = 2 $$

$\Rightarrow$ $14$ und $16$ sind nicht teilerfremd

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern