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Teilermenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Teilermenge einer natürlichen Zahl ist.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Jede natürliche Zahl $> 1$ hat mindestens zwei Teiler. Der Übersichtlichkeit halber fassen wir alle Teiler einer natürlichen Zahl in einer Menge zusammen und geben dieser Menge einen Namen:

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl $a$ heißt Teilermenge $\boldsymbol{T_a}$.

Beispiel 1 

Die Teilermenge von $6$ ist $T_6 = \{1, 2, 3, 6\}$.

Sprechweise

$T_6$ lesen wir als T 6 oder Die Teilermenge von 6.

Anmerkung

Die Teilermenge darf nicht mit der Teilmenge verwechselt werden!

Teilermenge bestimmen 

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um die Teilermenge zu bestimmen.

Methode 1 

Wer sich in der Teilbarkeitslehre noch nicht auskennt, muss wohl oder übel schriftlich dividieren.

Beispiel 2 

Bestimme die Teilermenge von $6$.

$6 : \class{mb-green}{1} = 6 \;\class{mb-green}{\checkmark}$
$6 : \class{mb-green}{2} = 3 \;\class{mb-green}{\checkmark}$
$6 : \class{mb-green}{3} = 2 \;\class{mb-green}{\checkmark}$
$6 : \class{mb-red}{4} = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 2}$
$6 : \class{mb-red}{5} = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}$
$$ 6 : \class{mb-green}{6} = 1 \;\class{mb-green}{\checkmark} $$

$$ \Rightarrow T_6 = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{6}\} $$

Methode 2 

Wir können uns viele der schriftlichen Divisionen sparen, wenn wir einige Regeln beachten:

Unechte Teiler

  • Die Zahl $1$ ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl $a$ enthalten.
  • Die Zahl $a$ selbst ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl $a > 0$ enthalten.

Echte Teiler

  • Die Zahlen zwischen $1$ und $a$ prüfen wir durch Anwendung der Teilbarkeitsregeln. Wenn dir für eine Zahl keine Teilbarkeitsregel bekannt ist, musst du schriftlich dividieren.
  • Ist $t$ Teiler von $a$, ist auch $a : t$ Teiler von $a$. ($\rightarrow$ Komplementärteiler)
  • Ist $t$ kein Teiler von $a$, sind auch alle Vielfachen von $t$ keine Teiler von $a$.

Grundsätzlich beginnen wir die Überprüfung auf echte Teiler mit der Zahl $2$ und hören dann auf, wenn wir auf ein Paar komplementärer Teiler stoßen, zwischen dem keine weiteren Teiler liegen.

Beispiel 3 

Bestimme die Teilermenge von $12$.

Unechte Teiler bestimmen

$\class{mb-green}{1}$ ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl enthalten.

Die Zahl $\class{mb-green}{12}$ selbst in in der Teilermenge enthalten.

Echte Teiler bestimmen

$\class{mb-green}{2}$ ist in $T_{12}$ enthalten, denn die Endziffer von $12$ ist $2$. ($\rightarrow$ Teilbarkeitsregel 2)
Da $2$ ein Teiler von $12$ ist, ist auch $12 : 2 = \class{mb-green}{6}$ ein Teiler von $12$.

$\class{mb-green}{3}$ ist in $T_{12}$ enthalten, denn $Q(12) = 3$ und $3 : 3 = 1$. ($\rightarrow$ Teilbarkeitsregel 3)
Da $3$ ein Teiler von $12$ ist, ist auch $12 : 3 = \class{mb-green}{4}$ ein Teiler von $12$.

Zwischen der $\class{mb-green}{3}$ und ihrem komplementären Teiler $\class{mb-green}{4}$ liegen keine weiteren natürlichen Zahlen, woraus folgt, dass wir die Überprüfung beenden können.

Teilermenge aufschreiben

$$ T_{12} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{4}, \class{mb-green}{6}, \class{mb-green}{12}\} $$

Beispiel 4 

Bestimme die Teilermenge von $16$.

Unechte Teiler bestimmen

$\class{mb-green}{1}$ ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl enthalten.

Die Zahl $\class{mb-green}{16}$ selbst in in der Teilermenge enthalten.

Echte Teiler bestimmen

$\class{mb-green}{2}$ ist in $T_{16}$ enthalten, denn die Endziffer von $16$ ist $6$.
Da $2$ ein Teiler von $16$ ist, ist auch $16 : 2 = \class{mb-green}{8}$ ein Teiler von $16$.

$\class{mb-red}{3}$ ist nicht in $T_{16}$ enthalten, denn $Q(16) = 7$ und $7 : 3 = 2 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}$.

$\class{mb-green}{4}$ ist in $T_{16}$ enthalten, denn $16 : 4 = 4$. ($\rightarrow$ Teilbarkeitsregel 4)
Da $4$ ein Teiler von $16$ ist, ist auch $16 : 4 = \class{mb-green}{4}$ ein Teiler von $16$.

Zwischen der $\class{mb-green}{4}$ und ihrem komplementären Teiler $\class{mb-green}{4}$ liegen keine weiteren natürlichen Zahlen, woraus folgt, dass wir die Überprüfung beenden können.

Anmerkung

Der komplementäre Teiler von $4$ bezüglich der Zahl $16$ ist $4$, denn $4 \cdot 4 = 16$. Obwohl der Teiler $4$ genau genommen zweimal vorkommt, schreiben wir ihn nur einmal in die Teilermenge, denn in einer Menge darf jedes Element nur einmal vorkommen. Daraus folgt, dass die Teilermengen von Quadratzahlen ($1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$…) aus einer ungeraden Anzahl an Elementen bestehen.

Teilermenge aufschreiben

$$ T_{16} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{4}, \class{mb-green}{8}, \class{mb-green}{16}\} $$

Beispiel 5 

Bestimme die Teilermenge von $28$.

Unechte Teiler bestimmen

$\class{mb-green}{1}$ ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl enthalten.

Die Zahl $\class{mb-green}{28}$ selbst in in der Teilermenge enthalten.

Echte Teiler bestimmen

$\class{mb-green}{2}$ ist in $T_{28}$ enthalten, denn die Endziffer von $28$ ist $8$.
Da $2$ ein Teiler von $28$ ist, ist auch $28 : 2 = \class{mb-green}{14}$ ein Teiler von $28$.

$\class{mb-red}{3}$ ist nicht in $T_{28}$ enthalten, denn $Q(28) = 10$ und $10 : 3 = 3 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}$.

$\class{mb-green}{4}$ ist in $T_{28}$ enthalten, denn $28 : 4 = 7$.
Da $4$ ein Teiler von $28$ ist, ist auch $28 : 4 = \class{mb-green}{7}$ ein Teiler von $28$.

$\class{mb-red}{5}$ ist nicht in $T_{28}$ enthalten, denn die Endziffer von $28$ ist weder $0$ noch $5$.

$\class{mb-red}{6}$ ist nicht in $T_{28}$ enthalten, denn $6$ ist Vielfaches von $3$ und $3$ ist kein Teiler.

Zwischen der $\class{mb-green}{4}$ und ihrem komplementären Teiler $\class{mb-green}{7}$ liegen keine weiteren Teiler, woraus folgt, dass wir die Überprüfung beenden können.

Teilermenge aufschreiben

$$ T_{28} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{4}, \class{mb-green}{7}, \class{mb-green}{14}, \class{mb-green}{28}\} $$

Teilermengen aller Zahlen von 0 bis 50 

$$ T_0 = \{1\} $$

$$ T_1 = \{1\} $$

$$ T_2 = \{1, 2\} $$

$$ T_3 = \{1, 3\} $$

$$ T_4 = \{1, 2, 4\} $$

$$ T_5 = \{1, 5\} $$

$$ T_6 = \{1, 2, 3, 6\} $$

$$ T_7 = \{1, 7\} $$

$$ T_8 = \{1, 2, 4, 8\} $$

$$ T_9 = \{1, 3, 9\} $$

$$ T_{10} = \{1, 2, 5, 10\} $$

$$ T_{11} = \{1, 11\} $$

$$ T_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} $$

$$ T_{13} = \{1, 13\} $$

$$ T_{14} = \{1, 2, 7, 14\} $$

$$ T_{15} = \{1, 3, 5, 15\} $$

$$ T_{16} = \{1, 2, 4, 8, 16\} $$

$$ T_{17} = \{1, 17\} $$

$$ T_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} $$

$$ T_{19} = \{1, 19\} $$

$$ T_{20} = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\} $$

$$ T_{21} = \{1, 3, 7, 21\} $$

$$ T_{22} = \{1, 2, 11, 22\} $$

$$ T_{23} = \{1, 23\} $$

$$ T_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} $$

$$ T_{25} = \{1, 5, 25\} $$

$$ T_{26} = \{1, 2, 13, 26\} $$

$$ T_{27} = \{1, 3, 9, 27\} $$

$$ T_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\} $$

$$ T_{29} = \{1, 29\} $$

$$ T_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} $$

$$ T_{31} = \{1, 31\} $$

$$ T_{32} = \{1, 2, 4, 8, 16, 32\} $$

$$ T_{33} = \{1, 3, 11, 33\} $$

$$ T_{34} = \{1, 2, 17, 34\} $$

$$ T_{35} = \{1, 5, 7, 35\} $$

$$ T_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} $$

$$ T_{37} = \{1, 37\} $$

$$ T_{38} = \{1, 2, 9, 38\} $$

$$ T_{39} = \{1, 3, 13, 39\} $$

$$ T_{40} = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\} $$

$$ T_{41} = \{1, 41\} $$

$$ T_{42} = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\} $$

$$ T_{43} = \{1, 43\} $$

$$ T_{44} = \{1, 2, 4, 11, 22, 44\} $$

$$ T_{45} = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} $$

$$ T_{46} = \{1, 2, 23, 46\} $$

$$ T_{47} = \{1, 47\} $$

$$ T_{48} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} $$

$$ T_{49} = \{1, 7, 49\} $$

$$ T_{50} = \{1, 2, 5, 10, 25, 50\} $$

Ausblick 

  • Alle Zahlen, deren Teilermenge aus genau zwei Elementen besteht, heißen Primzahlen. (Bei diesen beiden Elementen handelt es sich um die unechten Teiler der Zahl.)
  • Die Schnittmenge mehrerer Teilermengen enthält die gemeinsamen Teiler.
  • Der größte gemeinsame Teiler (ggT) hat eine besondere Bedeutung in der Mathematik.

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