Teilermenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Teilermenge einer natürlichen Zahl ist.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Jede natürliche Zahl \(> 1\) hat mindestens zwei Teiler. Der Übersichtlichkeit halber fassen wir alle Teiler einer natürlichen Zahl in einer Menge zusammen und geben dieser Menge einen Namen.

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl \(a\) heißt Teilermenge \(T_a\).

Beispiel

  • Die Teilermenge von \(6\) ist \(T_6 = \{1, 2, 3, 6\}\).

Sprechweise

\(T_6\) lesen wir als „T 6“ oder „Die Teilermenge von 6“.

Anmerkung

Die Teilermenge darf nicht mit der Teilmenge verwechselt werden!

Teilermenge bestimmen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um die Teilermenge zu bestimmen.

a) Wie Anfänger die Teilermenge bestimmen

Wer sich in der Teilbarkeitslehre noch nicht auskennt, muss wohl oder übel schriftlich dividieren.

Beispiel

  • Bestimme die Teilermenge von \(6\).

    \(6 : \class{mb-green}{1} = 6 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)
    \(6 : \class{mb-green}{2} = 3 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)
    \(6 : \class{mb-green}{3} = 2 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)
    \(6 : \class{mb-red}{4} = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 2}\)
    \(6 : \class{mb-red}{5} = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}\)
    \(6 : \class{mb-green}{6} = 6 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)

    \(\Rightarrow T_6 = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{6}\}\)

b) Wie Profis die Teilermenge bestimmen

Wir können uns viele der schriftlichen Divisionen sparen, wenn wir einige Regeln beachten:

Unechte Teiler

  • Die Zahl \(1\) ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl \(a\) enthalten.
  • Die Zahl \(a\) selbst ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl \(a > 0\) enthalten.

Echte Teiler

  • Die Zahlen zwischen \(1\) und \(a\) prüfen wir durch Anwendung der Teilbarkeitsregeln.
    Wenn dir für eine Zahl keine Teilbarkeitsregel bekannt ist, musst du schriftlich dividieren.
  • Ist \(t\) Teiler von \(a\), so ist auch \(a : t\) Teiler von \(a\). (\(\rightarrow\) Komplementärteiler)
  • Ist \(t\) kein Teiler von \(a\), so sind auch alle Vielfachen von \(t\) keine Teiler von \(a\).

Grundsätzlich beginnen wir die Überprüfung auf echte Teiler mit der Zahl \(2\) und hören dann auf, wenn wir auf ein Paar komplementärer Teiler stoßen, zwischen dem keine weiteren Teiler liegen.

Beispiele

  • Bestimme die Teilermenge von \(12\).

    Unechte Teiler
    \(\class{mb-green}{1}\) ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl enthalten.
    Die Zahl \(\class{mb-green}{12}\) selbst in in der Teilermenge enthalten.

    Echte Teiler
    \(\class{mb-green}{2}\) ist in \(T_{12}\) enthalten, denn die Endziffer von \(12\) ist \(2\). (\(\rightarrow\) Teilbarkeitsregel 2)
    Da \(2\) ein Teiler von \(12\) ist, ist auch \(12 : 2 = \class{mb-green}{6}\) ein Teiler von \(12\).
    \(\class{mb-green}{3}\) ist in \(T_{12}\) enthalten, denn \(Q(12) = 3\) und \(3 : 3 = 1\). (\(\rightarrow\) Teilbarkeitsregel 3)
    Da \(3\) ein Teiler von \(12\) ist, ist auch \(12 : 3 = \class{mb-green}{4}\) ein Teiler von \(12\).
    Zwischen der \(\class{mb-green}{3}\) und ihrem komplementären Teiler \(\class{mb-green}{4}\) liegen keine weiteren natürlichen Zahlen, woraus folgt, dass wir die Überprüfung beenden können.

    \(\Rightarrow T_{12} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{4}, \class{mb-green}{6}, \class{mb-green}{12}\}\)

  • Bestimme die Teilermenge von \(16\).

    Unechte Teiler
    \(\class{mb-green}{1}\) ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl enthalten.
    Die Zahl \(\class{mb-green}{16}\) selbst in in der Teilermenge enthalten.

    Echte Teiler
    \(\class{mb-green}{2}\) ist in \(T_{16}\) enthalten, denn die Endziffer von \(16\) ist \(6\).
    Da \(2\) ein Teiler von \(16\) ist, ist auch \(16 : 2 = \class{mb-green}{8}\) ein Teiler von \(16\).
    \(\class{mb-red}{3}\) ist nicht in \(T_{16}\) enthalten, denn \(Q(16) = 7\) und \(7 : 3 = 2 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}\).
    \(\class{mb-green}{4}\) ist in \(T_{16}\) enthalten, denn \(16 : 4 = 4\). (\(\rightarrow\) Teilbarkeitsregel 4)
    Da \(4\) ein Teiler von \(16\) ist, ist auch \(16 : 4 = \class{mb-green}{4}\) ein Teiler von \(16\).
    Zwischen der \(\class{mb-green}{4}\) und ihrem komplementären Teiler \(\class{mb-green}{4}\) liegen keine weiteren natürlichen Zahlen, woraus folgt, dass wir die Überprüfung beenden können.

    Anmerkung
    Der komplementäre Teiler von \(4\) bezüglich der Zahl \(16\) ist \(4\), denn \(4 \cdot 4 = 16\). Obwohl der Teiler \(4\) genau genommen zweimal vorkommt, schreiben wir ihn nur einmal in die Teilermenge, denn in einer Menge darf jedes Element nur einmal vorkommen. Daraus folgt, dass die Teilermengen von Quadratzahlen (\(1\), \(4\), \(9\), \(16\), \(25\), \(36\), \(49\)...) aus einer ungeraden Anzahl an Elementen bestehen.

    \(\Rightarrow T_{16} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{4}, \class{mb-green}{8}, \class{mb-green}{16}\}\)

  • Bestimme die Teilermenge von \(28\).

    Unechte Teiler
    \(\class{mb-green}{1}\) ist in der Teilermenge jeder natürlichen Zahl enthalten.
    Die Zahl \(\class{mb-green}{28}\) selbst in in der Teilermenge enthalten.

    Echte Teiler
    \(\class{mb-green}{2}\) ist in \(T_{28}\) enthalten, denn die Endziffer von \(28\) ist \(8\).
    Da \(2\) ein Teiler von \(28\) ist, ist auch \(28 : 2 = \class{mb-green}{14}\) ein Teiler von \(28\).
    \(\class{mb-red}{3}\) ist nicht in \(T_{28}\) enthalten, denn \(Q(28) = 10\) und \(10 : 3 = 3 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}\).
    \(\class{mb-green}{4}\) ist in \(T_{28}\) enthalten, denn \(28 : 4 = 7\).
    Da \(4\) ein Teiler von \(28\) ist, ist auch \(28 : 4 = \class{mb-green}{7}\) ein Teiler von \(28\).
    \(\class{mb-red}{5}\) ist nicht in \(T_{28}\) enthalten, denn die Endziffer von \(28\) ist weder \(0\) noch \(5\).
    \(\class{mb-red}{6}\) ist nicht in \(T_{28}\) enthalten, denn \(6\) ist Vielfaches von \(3\) und \(3\) ist kein Teiler.
    Zwischen der \(\class{mb-green}{4}\) und ihrem komplementären Teiler \(\class{mb-green}{7}\) liegen keine weiteren Teiler, woraus folgt, dass wir die Überprüfung beenden können.

    \(\Rightarrow T_{28} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{4}, \class{mb-green}{7}, \class{mb-green}{14}, \class{mb-green}{28}\}\)

Teilermengen aller Zahlen von 0 bis 50

\(T_0 = \{1\}\)

\(T_1 = \{1\}\)

\(T_2 = \{1, 2\}\)

\(T_3 = \{1, 3\}\)

\(T_4 = \{1, 2, 4\}\)

\(T_5 = \{1, 5\}\)

\(T_6 = \{1, 2, 3, 6\}\)

\(T_7 = \{1, 7\}\)

\(T_8 = \{1, 2, 4, 8\}\)

\(T_9 = \{1, 3, 9\}\)

\(T_{10} = \{1, 2, 5, 10\}\)

\(T_{11} = \{1, 11\}\)

\(T_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\)

\(T_{13} = \{1, 13\}\)

\(T_{14} = \{1, 2, 7, 14\}\)

\(T_{15} = \{1, 3, 5, 15\}\)

\(T_{16} = \{1, 2, 4, 8, 16\}\)

\(T_{17} = \{1, 17\}\)

\(T_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}\)

\(T_{19} = \{1, 19\}\)

\(T_{20} = \{1, 2, 5, 10, 20\}\)

\(T_{21} = \{1, 3, 7, 21\}\)

\(T_{22} = \{1, 2, 11, 22\}\)

\(T_{23} = \{1, 23\}\)

\(T_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}\)

\(T_{25} = \{1, 5, 25\}\)

\(T_{26} = \{1, 2, 13, 26\}\)

\(T_{27} = \{1, 3, 9, 27\}\)

\(T_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}\)

\(T_{29} = \{1, 29\}\)

\(T_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}\)

\(T_{31} = \{1, 31\}\)

\(T_{32} = \{1, 2, 4, 8, 16, 32\}\)

\(T_{33} = \{1, 3, 11, 33\}\)

\(T_{34} = \{1, 2, 17, 34\}\)

\(T_{35} = \{1, 5, 7, 35\}\)

\(T_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}\)

\(T_{37} = \{1, 37\}\)

\(T_{38} = \{1, 2, 9, 38\}\)

\(T_{39} = \{1, 3, 13, 39\}\)

\(T_{40} = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\}\)

\(T_{41} = \{1, 41\}\)

\(T_{42} = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}\)

\(T_{43} = \{1, 43\}\)

\(T_{44} = \{1, 2, 4, 11, 22, 44\}\)

\(T_{45} = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}\)

\(T_{46} = \{1, 2, 23, 46\}\)

\(T_{47} = \{1, 47\}\)

\(T_{48} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}\)

\(T_{49} = \{1, 7, 49\}\)

\(T_{50} = \{1, 2, 5, 10, 25, 50\}\)

Ausblick

  • Alle Zahlen, deren Teilermenge aus genau zwei Elementen besteht, heißen Primzahlen.
    (Bei diesen beiden Elementen handelt es sich um die unechten Teiler der Zahl.)
  • Die Schnittmenge mehrerer Teilermengen enthält die gemeinsamen Teiler.
  • Der größte gemeinsame Teiler (ggT) hat eine besondere Bedeutung in der Mathematik.
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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