Komplementärteiler

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Komplementärteiler sind.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Wenn wir die Teiler einer Zahl paarweise auf gemeinsame Eigenschaften hin untersuchen, dann können wir feststellen, dass gilt:

  • Der kleinste Teiler multipliziert mit dem größten ergibt die untersuchte Zahl.
  • Der zweitkleinste Teiler multipliziert mit dem zweitgrößten ergibt die untersuchte Zahl.
  • Der drittkleinste Teiler multipliziert mit dem drittgrößten ergibt die untersuchte Zahl.
  • ...

Beispiel

  • Gegeben sei die Teilermenge von \(24\):
    \(T_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}\)

    Es gilt:
    \(1 \cdot 24 = 24\)
    \(2 \cdot 12 = 24\)
    \(3 \cdot 8 = 24\)
    \(4 \cdot 6 = 24\)

Offenbar ergänzen (lat. complere) sich je zwei Teiler einer Teilermenge zu der untersuchen Zahl.

Die Teiler der Zahl \(a\), deren Produkt \(a\) ergibt, heißen Komplementärteiler.

Sprechweise

Im obigen Beispiel können wir z. B. \(2\) und \(12\) als „Komplementärteiler“ oder „Paar komplementärer Teiler“ bezeichnen. Darüber hinaus sagen wir auch, dass die \(2\) „der Komplementärteiler zu \(12\)“ sowie die \(12\) „der Komplementärteiler zu \(2\)“ ist.

Komplementärteiler berechnen

Herleitung: \(t_1 \cdot t_2 = a \;\Rightarrow\; t_2 = a : t_1\)

Ist \(t\) Teiler von \(a\), dann ist auch \(a : t\) Teiler von \(a\).

\(\class{mb-satz}{t}\) und \(a \class{mb-satz}{: t}\) heißen Komplementärteiler.

Beispiele

  • \(\class{mb-satz}{2}\) ist Teiler von \(16\). Berechne den Komplementärteiler.

    \(16 \class{mb-satz}{: 2} = 8\)
    \(\Rightarrow\) Der Komplementärteiler von \(2\) ist \(8\), denn \(2 \cdot 8 = 16\).

  • \(\class{mb-satz}{6}\) ist Teiler von \(30\). Berechne den Komplementärteiler.

    \(30 \class{mb-satz}{: 6} = 5\)
    \(\Rightarrow\) Der Komplementärteiler von \(6\) ist \(5\), denn \(6 \cdot 5 = 30\).

  • \(\class{mb-satz}{8}\) ist Teiler von \(64\). Berechne den Komplementärteiler.

    \(64 \class{mb-satz}{: 8} = 8\)
    \(\Rightarrow\) Der Komplementärteiler von \(8\) ist \(8\), denn \(8 \cdot 8 = 64\).

Praktische Bedeutung

Die Berechnung des Komplementärteilers vereinfacht die Bestimmung der Teilermenge.