Gemeinsame Teiler
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was gemeinsame Teiler sind.
Benötigtes Vorwissen
- Teiler \(\rightarrow\) Teilermenge
- Menge \(\rightarrow\) Schnittmenge
Kontext
Wenn wir die Teilermengen von \(12\) und \(18\) auf Gemeinsamkeiten untersuchen,
\(T_{12} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, 4, \class{mb-green}{6}, 12\}\)
\(T_{18} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{6}, 9, 18\}\)
dann stellen wir fest, dass die Teiler \(\class{mb-green}{1}\), \(\class{mb-green}{2}\), \(\class{mb-green}{3}\) und \(\class{mb-green}{6}\) in beiden Mengen vorkommen.
Um diese besonderen Teiler gezielt ansprechen zu können, geben wir ihnen einen Namen:
Zahlen, die Teiler mehrerer natürlicher Zahlen sind,
heißen gemeinsame Teiler dieser Zahlen.
Schreibweise
- \(\text{gT}(a, b)\)
Sprechweise
- „g T von a b“
- „Die gemeinsamen Teiler von a und b“
Beispiel
- \(\text{gT}(12, 18) = \{1, 2, 3, 6\}\)
Anmerkung
Die Menge aller gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen ist die Schnittmenge ihrer Teilermengen:
\(\text{gT}(a, b) = T_a \cap T_b\)
\(\text{gT}(a, b, c) = T_a \cap T_b \cap T_c\)
\(\text{gT}(a, b, c, d) = T_a \cap T_b \cap T_c \cap T_d\)
usw.
Gemeinsame Teiler bestimmen
Sobald die Teilermengen bestimmt sind, lassen sich die gemeinsamen Teiler leicht finden.
Beispiele
- Bestimme die gemeinsamen Teiler von \(6\) und \(10\).
1) Teilermengen bestimmen
\(T_6 = \{1, 2, 3, 6\}\)
\(T_{10} = \{1, 2, 5, 10\}\)
2) Gemeinsame Teiler markieren
\(T_6 = \{\underline{1}, \underline{2}, 3, 6\}\)
\(T_{10} = \{\underline{1}, \underline{2}, 5, 10\}\)
3) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
\(\text{gT}(6, 10) = \{1, 2\}\) - Bestimme die gemeinsamen Teiler von \(8\) und \(24\).
1) Teilermengen bestimmen
\(T_8 = \{1, 2, 4, 8\}\)
\(T_{24} = \{1, 2, 4, 6, 8, 12, 24\}\)
2) Gemeinsame Teiler markieren
\(T_8 = \{\underline{1}, \underline{2}, \underline{4}, \underline{8}\}\)
\(T_{24} = \{\underline{1}, \underline{2}, \underline{4}, 6, \underline{8}, 12, 24\}\)
3) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
\(\text{gT}(8, 24) = \{1, 2, 4, 8\}\) - Bestimme die gemeinsamen Teiler von \(9\) und \(14\).
1) Teilermengen bestimmen
\(T_9 = \{1, 3, 9\}\)
\(T_{14} = \{1, 2, 7, 14\}\)
2) Gemeinsame Teiler markieren
\(T_9 = \{\underline{1}, 3, 9\}\)
\(T_{14} = \{\underline{1}, 2, 7, 14\}\)
3) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
\(\text{gT}(9, 14) = \{1\}\)
Ausblick
- Der größte gemeinsame Teiler (ggT) hat eine große Bedeutung in der Mathematik.
- Zahlen, die außer \(1\) keine gemeinsamen Teiler haben, heißen teilerfremd.
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