Gemeinsame Teiler
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was gemeinsame Teiler sind.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Wenn wir die Teilermengen von $12$ und $18$ auf Gemeinsamkeiten untersuchen,
$$ T_{12} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, 4, \class{mb-green}{6}, 12\} $$
$$ T_{18} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{6}, 9, 18\} $$
dann stellen wir fest, dass die Teiler $\class{mb-green}{1}$, $\class{mb-green}{2}$, $\class{mb-green}{3}$ und $\class{mb-green}{6}$ in beiden Mengen vorkommen.
Um diese besonderen Teiler gezielt ansprechen zu können, geben wir ihnen einen Namen.
Definition
Zahlen, die Teiler mehrerer natürlicher Zahlen sind, heißen gemeinsame Teiler dieser Zahlen.
Schreibweise
$\text{gT}(a, b)$
Sprechweise
g T von a b
Die gemeinsamen Teiler von a und b
Anmerkung
Die Menge aller gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen ist die Schnittmenge ihrer Teilermengen:
$$ \text{gT}(a, b) = T_a \cap T_b $$
$$ \text{gT}(a, b, c) = T_a \cap T_b \cap T_c $$
$$ \text{gT}(a, b, c, d) = T_a \cap T_b \cap T_c \cap T_d $$
usw.
Gemeinsame Teiler bestimmen
Sobald die Teilermengen bestimmt sind, lassen sich die gemeinsamen Teiler leicht finden.
Bestimme die gemeinsamen Teiler von $6$ und $10$.
Teilermengen bestimmen
$$ T_6 = \{1, 2, 3, 6\} $$
$$ T_{10} = \{1, 2, 5, 10\} $$
Gemeinsame Teiler markieren
$$ T_6 = \{\underline{1}, \underline{2}, 3, 6\} $$
$$ T_{10} = \{\underline{1}, \underline{2}, 5, 10\} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ \text{gT}(6, 10) = \{1, 2\} $$
Bestimme die gemeinsamen Teiler von $8$ und $24$.
Teilermengen bestimmen
$$ T_8 = \{1, 2, 4, 8\} $$
$$ T_{24} = \{1, 2, 4, 6, 8, 12, 24\} $$
Gemeinsame Teiler markieren
$$ T_8 = \{\underline{1}, \underline{2}, \underline{4}, \underline{8}\} $$
$$ T_{24} = \{\underline{1}, \underline{2}, \underline{4}, 6, \underline{8}, 12, 24\} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ \text{gT}(8, 24) = \{1, 2, 4, 8\} $$
Bestimme die gemeinsamen Teiler von $9$ und $14$.
Teilermengen bestimmen
$$ T_9 = \{1, 3, 9\} $$
$$ T_{14} = \{1, 2, 7, 14\} $$
Gemeinsame Teiler markieren
$$ T_9 = \{\underline{1}, 3, 9\} $$
$$ T_{14} = \{\underline{1}, 2, 7, 14\} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ \text{gT}(9, 14) = \{1\} $$
Online-Rechner
Gemeinsame Teiler online berechnen
Ausblick
- Der größte gemeinsame Teiler (ggT) hat eine große Bedeutung in der Mathematik.
- Zahlen, die außer
$1$keine gemeinsamen Teiler haben, heißen teilerfremd.
