Gemeinsame Teiler

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was gemeinsame Teiler sind.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Wenn wir die Teilermengen von \(12\) und \(18\) auf Gemeinsamkeiten untersuchen,

\(T_{12} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, 4, \class{mb-green}{6}, 12\}\)

\(T_{18} = \{\class{mb-green}{1}, \class{mb-green}{2}, \class{mb-green}{3}, \class{mb-green}{6}, 9, 18\}\)

dann stellen wir fest, dass die Teiler \(\class{mb-green}{1}\), \(\class{mb-green}{2}\), \(\class{mb-green}{3}\) und \(\class{mb-green}{6}\) in beiden Mengen vorkommen.

Um diese besonderen Teiler gezielt ansprechen zu können, geben wir ihnen einen Namen:

Zahlen, die Teiler mehrerer natürlicher Zahlen sind,
heißen gemeinsame Teiler dieser Zahlen.

Schreibweise

  • \(\text{gT}(a, b)\)

Sprechweise

  • „g T von a b“
  • „Die gemeinsamen Teiler von a und b“

Beispiel

  • \(\text{gT}(12, 18) = \{1, 2, 3, 6\}\)

Anmerkung

Die Menge aller gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen ist die Schnittmenge ihrer Teilermengen:
\(\text{gT}(a, b) = T_a \cap T_b\)
\(\text{gT}(a, b, c) = T_a \cap T_b \cap T_c\)
\(\text{gT}(a, b, c, d) = T_a \cap T_b \cap T_c \cap T_d\)
usw.

Gemeinsame Teiler bestimmen

Sobald die Teilermengen bestimmt sind, lassen sich die gemeinsamen Teiler leicht finden.

Beispiele

  • Bestimme die gemeinsamen Teiler von \(6\) und \(10\).

    1) Teilermengen bestimmen
    \(T_6 = \{1, 2, 3, 6\}\)
    \(T_{10} = \{1, 2, 5, 10\}\)

    2) Gemeinsame Teiler markieren
    \(T_6 = \{\underline{1}, \underline{2}, 3, 6\}\)
    \(T_{10} = \{\underline{1}, \underline{2}, 5, 10\}\)

    3) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
    \(\text{gT}(6, 10) = \{1, 2\}\)

  • Bestimme die gemeinsamen Teiler von \(8\) und \(24\).

    1) Teilermengen bestimmen
    \(T_8 = \{1, 2, 4, 8\}\)
    \(T_{24} = \{1, 2, 4, 6, 8, 12, 24\}\)

    2) Gemeinsame Teiler markieren
    \(T_8 = \{\underline{1}, \underline{2}, \underline{4}, \underline{8}\}\)
    \(T_{24} = \{\underline{1}, \underline{2}, \underline{4}, 6, \underline{8}, 12, 24\}\)

    3) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
    \(\text{gT}(8, 24) = \{1, 2, 4, 8\}\)

  • Bestimme die gemeinsamen Teiler von \(9\) und \(14\).

    1) Teilermengen bestimmen
    \(T_9 = \{1, 3, 9\}\)
    \(T_{14} = \{1, 2, 7, 14\}\)

    2) Gemeinsame Teiler markieren
    \(T_9 = \{\underline{1}, 3, 9\}\)
    \(T_{14} = \{\underline{1}, 2, 7, 14\}\)

    3) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
    \(\text{gT}(9, 14) = \{1\}\)

Ausblick