Gemeinsame Vielfache
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was gemeinsame Vielfache sind.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Wenn wir die Vielfachenmengen von $2$ und $3$ auf Gemeinsamkeiten untersuchen,
$$ V_2 = \{2, 4, {\color{green}6}, 8, 10, {\color{green}12}, 14, 16, {\color{green}18}, 20, \dots\} $$
$$ V_3 = \{3, {\color{green}6}, 9, {\color{green}12}, 15, {\color{green}18}, 21, \dots\} $$
dann stellen wir fest, dass die Vielfachen ${\color{green}6}$, ${\color{green}12}$, ${\color{green}18}$, $\dots$ in beiden Mengen vorkommen.
Um diese besonderen Vielfachen gezielt ansprechen zu können, geben wir ihnen einen Namen.
Definition
Zahlen, die Vielfache mehrerer natürlicher Zahlen sind, heißen gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.
Schreibweise
$\text{gV}(a, b)$
Sprechweise
g V von a b
Die gemeinsamen Vielfachen von a und b
$$ \text{gV}(2, 3) = \{6, 12, 18, \dots\} $$
Anmerkung
Die Menge aller gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen ist die Schnittmenge ihrer Vielfachenmengen:
$$ \text{gV}(a, b) = V_a \cap V_b $$
$$ \text{gV}(a, b, c) = V_a \cap V_b \cap V_c $$
$$ \text{gV}(a, b, c, d) = V_a \cap V_b \cap V_c \cap V_d $$
usw.
Gemeinsame Vielfache bestimmen
Sobald die Vielfachenmengen bestimmt sind, lassen sich die gemeinsamen Vielfachen einfach finden.
Bestimme die gemeinsamen Vielfachen von $4$ und $5$.
Vielfachenmengen bestimmen
$$ V_4 = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, \dots\} $$
$$ V_5 = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, \dots\} $$
Gemeinsame Vielfache markieren
$$ V_4 = \{4, 8, 12, 16, \underline{20}, 24, 28, 32, 36, \underline{40}, \dots\} $$
$$ V_5 = \{5, 10, 15, \underline{20}, 25, 30, 35, \underline{40}, 45, 50, \dots\} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ \text{gV}(4, 5) = \{20, 40, \dots\} $$
Bestimme die gemeinsamen Vielfachen von $5$ und $10$.
Vielfachenmengen bestimmen
$$ V_5 = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, \dots\} $$
$$ V_{10} = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, \dots\} $$
Gemeinsame Vielfache markieren
$$ V_5 = \{5, \underline{10}, 15, \underline{20}, 25, \underline{30}, 35, \underline{40}, 45, \underline{50}, \dots\} $$
$$ V_{10} = \{\underline{10}, \underline{20}, \underline{30}, \underline{40},\underline{50}, \dots\} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ \text{gV}(5, 10) = \{10, 20, 30, 40, 50, \dots\} $$
Bestimme die gemeinsamen Vielfachen von $10$ und $12$.
Vielfachenmengen bestimmen
$$ V_{10} = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, \dots\} $$
$$ V_{12} = \{12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, \dots\} $$
Gemeinsame Vielfache markieren
$$ V_{10} = \{10, 20, 30, 40, 50, \underline{60}, 70, 80, 90, 100, 110, \underline{120}, \dots\} $$
$$ V_{12} = \{12, 24, 36, 48, \underline{60}, 72, 84, 96, 108, \underline{120}, \dots\} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ \text{gV}(10, 12) = \{60, 120, \dots\} $$
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Ausblick
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) hat eine große Bedeutung in der Mathematik.
