Teilbarkeitsregel 11

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann eine natürliche Zahl durch \(11\) teilbar ist.

Benötigtes Vorwissen

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(11\) teilbar,
wenn ihre alternierende Quersumme durch \(11\) teilbar ist.

Beispiele

Zur Erinnerung: \(11 \mid a\) lesen wir als „11 teilt a“, \(11 \nmid a\) als „11 teilt a nicht“.

  • Überprüfe, ob \(61919\) durch \(11\) teilbar ist.

    1) Alternierende Quersumme berechnen
    \(Q^{'}(61919) = \class{mb-satz}{9 - 1 + 9 - 1 + 6} = 22\)

    2) Alternierende Quersumme durch \(11\) dividieren
    \(Q^{'}(61919) : 11 = 22 \class{mb-satz}{: 11} = 2 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)

    3) Ergebnis in mathematischer Schreibweise notieren
    \(11 \mid 61919\)

  • Überprüfe, ob \(42516\) durch \(11\) teilbar ist.

    1) \(Q^{'}(42516) = \class{mb-satz}{6 - 1 + 5 - 2 + 4} = 12\)
    2) \(Q^{'}(42516) : 11 = 12 \class{mb-satz}{: 11} = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1}\)
    3) \(11 \nmid 42516\)

  • Überprüfe, ob \(123321\) durch \(11\) teilbar ist.

    1) \(Q^{'}(123321) = \class{mb-satz}{1 - 2 + 3 - 3 + 2 - 1} = 0\)
    2) \(Q^{'}(123321) : 11 = 0 \class{mb-satz}{: 11} = 0 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)
    3) \(11 \mid 123321\)

  • Überprüfe, ob \(737271\) durch \(11\) teilbar ist.

    1) \(Q^{'}(737271) = \class{mb-satz}{1 - 7 + 2 - 7 + 3 - 7} = -15\)
    2) \(Q^{'}(737271) : 11 = -15 \class{mb-satz}{: 11} = -1 \class{mb-red}{\text{ Rest } {-4}}\)
    3) \(11 \nmid 737271\)

  • Überprüfe, ob \(106084\) durch \(11\) teilbar ist.

    1) \(Q^{'}(106084) = \class{mb-satz}{4 - 8 + 0 - 6 + 0 - 1} = -11\)
    2) \(Q^{'}(106084) : 11 = -11 \class{mb-satz}{: 11} = -1 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)
    3) \(11 \mid 106084\)

Anmerkung

Der Satz bleibt gültig, wenn wir die alternierende Quersumme von links nach rechts berechnen.

  • Überprüfe, ob \(106084\) durch \(11\) teilbar ist.

    1) \(Q^{'}(106084) = \class{mb-satz}{1 - 0 + 6 - 0 + 8 - 4} = 11\)
    2) \(Q^{'}(106084) : 11 = 11 \class{mb-satz}{: 11} = 1 \;\class{mb-green}{\checkmark}\)
    3) \(11 \mid 106084\)