Teilbarkeitsregel 11
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann eine natürliche Zahl durch $\boldsymbol{11}$ teilbar ist.
Erforderliches Vorwissen
Teilbarkeitsregel
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $11$ teilbar,
wenn ihre alternierende Quersumme durch $11$ teilbar ist.
Beispiele
Zur Erinnerung: $11 \mid a$ lesen wir als 11 teilt a
, $11 \nmid a$ als 11 teilt a nicht
.
Überprüfe, ob $61919$ durch $11$ teilbar ist.
Alternierende Quersumme berechnen
$$ Q^{'}(61919) = \class{mb-satz}{9 - 1 + 9 - 1 + 6} = 22 $$
Alternierende Quersumme durch $\boldsymbol{11}$ dividieren
$$ Q^{'}(61919) : 11 = 22 \class{mb-satz}{: 11} = 2 \;\class{mb-green}{\checkmark} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ 11 \mid 61919 $$
Überprüfe, ob $42516$ durch $11$ teilbar ist.
Alternierende Quersumme berechnen
$$ Q^{'}(42516) = \class{mb-satz}{6 - 1 + 5 - 2 + 4} = 12 $$
Alternierende Quersumme durch $\boldsymbol{11}$ dividieren
$$ Q^{'}(42516) : 11 = 12 \class{mb-satz}{: 11} = 1 \class{mb-red}{\text{ Rest } 1} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ 11 \nmid 42516 $$
Überprüfe, ob $123321$ durch $11$ teilbar ist.
Alternierende Quersumme berechnen
$$ Q^{'}(123321) = \class{mb-satz}{1 - 2 + 3 - 3 + 2 - 1} = 0 $$
Alternierende Quersumme durch $\boldsymbol{11}$ dividieren
$$ Q^{'}(123321) : 11 = 0 \class{mb-satz}{: 11} = 0 \;\class{mb-green}{\checkmark} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ 11 \mid 123321 $$
Überprüfe, ob $737271$ durch $11$ teilbar ist.
Alternierende Quersumme berechnen
$$ Q^{'}(737271) = \class{mb-satz}{1 - 7 + 2 - 7 + 3 - 7} = -15 $$
Alternierende Quersumme durch $\boldsymbol{11}$ dividieren
$$ Q^{'}(737271) : 11 = -15 \class{mb-satz}{: 11} = -1 \class{mb-red}{\text{ Rest } {-4}} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ 11 \nmid 737271 $$
Überprüfe, ob $106084$ durch $11$ teilbar ist.
Alternierende Quersumme berechnen
$$ Q^{'}(106084) = \class{mb-satz}{4 - 8 + 0 - 6 + 0 - 1} = -11 $$
Alternierende Quersumme durch $\boldsymbol{11}$ dividieren
$$ Q^{'}(106084) : 11 = -11 \class{mb-satz}{: 11} = -1 \;\class{mb-green}{\checkmark} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ 11 \mid 106084 $$
Anmerkung
Der Satz bleibt gültig, wenn wir die alternierende Quersumme von links nach rechts berechnen.
Überprüfe, ob $106084$ durch $11$ teilbar ist.
Alternierende Quersumme berechnen
$$ Q^{'}(106084) = \class{mb-satz}{1 - 0 + 6 - 0 + 8 - 4} = 11 $$
Alternierende Quersumme durch $\boldsymbol{11}$ dividieren
$$ Q^{'}(106084) : 11 = 11 \class{mb-satz}{: 11} = 1 \;\class{mb-green}{\checkmark} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ 11 \mid 106084 $$
