Alternierende k-Quersumme

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die alternierende \(k\)-Quersumme ist.

Benötigtes Vorwissen

Die alternierende \(k\)-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die
alternierende Summe der \(k\)-stelligen Zahlen,
die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden
.

Synonym

  • Alternierende Quersumme \(k\)-ter Stufe

Schreibweise

  • \(Q_k^{'}(a)\)

Sprechweise

  • „Q k Strich von a“
  • „Die alternierende k-Quersumme von a“

Übersetzung

Alternierend leitet sich von dem Lateinischen „alternare“ ab, was so viel wie „abwechseln“ bedeutet. Gemeint ist hier „mit abwechselndem Vorzeichen“: Die alternierende Summe der \(k\)-stelligen Zahlen erhalten wir nämlich, indem wir diese Zahlen von rechts beginnend abwechselnd subtrahieren und addieren.

Praktische Bedeutung

Die alternierende \(k\)-Quersumme liefert ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von \(10^k + 1\).

Im Folgenden schauen wir uns exemplarisch die Fälle für \(k = 1\), \(k = 2\) und \(k = 3\) an.

Alternierende 1er-Quersumme

Die alternierende 1er-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die
alternierende Summe der 1-stelligen Zahlen,
die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden
.

Synonyme

Beispiele

  • \(Q_1^{'}(123\class{mb-orange}{4}) = \class{mb-orange}{4} - 3 + 2 - 1 = 2\)
  • \(Q_1^{'}(12\class{mb-orange}{3}) = \class{mb-orange}{3} - 2 + 1 = 2\)
  • \(Q_1^{'}(1\class{mb-orange}{2}) = \class{mb-orange}{2} - 1 = 1\)
  • \(Q_1^{'}(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1}\)

Praktische Bedeutung

Die alternierende 1er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(11\) teilbar,
wenn ihre alternierende 1er-Quersumme durch \(11\) teilbar ist.

Anmerkung: Die Teilermenge von \(11\) ist \(T_{11} = \{1, 11\}\).

Alternierende 2er-Quersumme

Die alternierende 2er-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die
alternierende Summe der 2-stelligen Zahlen,
die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden
.

Synonym

  • Alternierende Quersumme 2. Stufe

Beispiele

  • \(Q_2^{'}(1234\class{mb-orange}{56}) = \class{mb-orange}{56} - 34 + 12 = 34\)
  • \(Q_2^{'}(12\class{mb-orange}{34}) = \class{mb-orange}{34} - 12 = 22\)
  • \(Q_2^{'}(1\class{mb-orange}{23}) = \class{mb-orange}{23} - 1 = 22\)
  • \(Q_2^{'}(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12}\)
  • \(Q_2^{'}(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1}\)

Praktische Bedeutung

Die alternierende 2er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(101\) teilbar,
wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch \(101\) teilbar ist.

Anmerkung: Die Teilermenge von \(101\) ist \(T_{101} = \{1, 101\}\).

Alternierende 3er-Quersumme

Die alternierende 3er-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die
alternierende Summe der 3-stelligen Zahlen,
die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden
.

Synonym

  • Alternierende Quersumme 3. Stufe

Beispiele

  • \(Q_3^{'}(123456\class{mb-orange}{789}) = \class{mb-orange}{789} - 456 + 123 = 456\)
  • \(Q_3^{'}(123\class{mb-orange}{456}) = \class{mb-orange}{456} - 123 = 333\)
  • \(Q_3^{'}(12\class{mb-orange}{345}) = \class{mb-orange}{345} - 12 = 333\)
  • \(Q_3^{'}(1\class{mb-orange}{234}) = \class{mb-orange}{234} - 1 = 233\)
  • \(Q_3^{'}(\class{mb-orange}{123}) = \class{mb-orange}{123}\)
  • \(Q_3^{'}(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12}\)
  • \(Q_3^{'}(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1}\)

Praktische Bedeutung

Die alternierende 3er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(1001\) teilbar,
wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch \(1001\) teilbar ist.

Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:

\(7 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(7\) teilbar ist
\(11 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(11\) teilbar ist
\(13 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(13\) teilbar ist
\(77 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(77\) teilbar ist
\(91 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(91\) teilbar ist
\(143\mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(143\) teilbar ist

Anmerkung: Die Teilermenge von \(1001\) ist \(T_{1001} = \{1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001\}\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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