Alternierende k-Quersumme

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die alternierende $\boldsymbol{k}$ -Quersumme ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Teilbarkeitsregeln + Quersummenregeln + Quersumme

Definition

Die alternierende $\boldsymbol{k}$ -Quersumme einer natürlichen Zahl $a$ ist die alternierende Summe der $k$ -stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus $a$ gebildet werden.

Synonym

Alternierende Quersumme $k$ -ter Stufe

Schreibweise

$Q_k^{'}(a)$

Sprechweise

Q k Strich von a
Die alternierende k-Quersumme von a

Übersetzung

Alternierend leitet sich von dem Lateinischen alternare ab, was so viel wie abwechseln bedeutet. Gemeint ist hier mit abwechselndem Vorzeichen: Die alternierende Summe der $k$ -stelligen Zahlen erhalten wir nämlich, indem wir diese Zahlen von rechts beginnend abwechselnd subtrahieren und addieren.

Praktische Bedeutung

Die alternierende $k$ -Quersumme liefert ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von $10^k + 1$ .

Im Folgenden schauen wir uns exemplarisch die Fälle für $k = 1$ , $k = 2$ und $k = 3$ an.

Beispiele

Alternierende 1er-Quersumme

Die alternierende 1er-Quersumme einer natürlichen Zahl $a$ ist die alternierende Summe der 1-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus $a$ gebildet werden.

Synonyme

Alternierende Quersumme 1. Stufe
Vereinfacht: Alternierende Quersumme $Q^{'}$ (Kennen wir bereits!)

Beispiel 1

$$ Q_1^{'}(123\class{mb-orange}{4}) = \class{mb-orange}{4} - 3 + 2 - 1 = 2 $$

Beispiel 2

$$ Q_1^{'}(12\class{mb-orange}{3}) = \class{mb-orange}{3} - 2 + 1 = 2 $$

Beispiel 3

$$ Q_1^{'}(1\class{mb-orange}{2}) = \class{mb-orange}{2} - 1 = 1 $$

Beispiel 4

$$ Q_1^{'}(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1} $$

Praktische Bedeutung

Die alternierende 1er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $11$ teilbar, wenn ihre alternierende 1er-Quersumme durch $11$ teilbar ist.

Anmerkung: Die Teilermenge von $11$ ist $T_{11} = \{1, 11\}$ .

Alternierende 2er-Quersumme

Die alternierende 2er-Quersumme einer natürlichen Zahl $a$ ist die alternierende Summe der 2-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus $a$ gebildet werden.

Synonym

Alternierende Quersumme 2. Stufe

Beispiel 5

$$ Q_2^{'}(1234\class{mb-orange}{56}) = \class{mb-orange}{56} - 34 + 12 = 34 $$

Beispiel 6

$$ Q_2^{'}(12\class{mb-orange}{34}) = \class{mb-orange}{34} - 12 = 22 $$

Beispiel 7

$$ Q_2^{'}(1\class{mb-orange}{23}) = \class{mb-orange}{23} - 1 = 22 $$

Beispiel 8

$$ Q_2^{'}(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12} $$

Beispiel 9

$$ Q_2^{'}(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1} $$

Praktische Bedeutung

Die alternierende 2er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $101$ teilbar, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch $101$ teilbar ist.

Anmerkung: Die Teilermenge von $101$ ist $T_{101} = \{1, 101\}$ .

Alternierende 3er-Quersumme

Die alternierende 3er-Quersumme einer natürlichen Zahl $a$ ist die alternierende Summe der 3-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus $a$ gebildet werden.

Synonym

Alternierende Quersumme 3. Stufe

Beispiel 10

$$ Q_3^{'}(123456\class{mb-orange}{789}) = \class{mb-orange}{789} - 456 + 123 = 456 $$

Beispiel 11

$$ Q_3^{'}(123\class{mb-orange}{456}) = \class{mb-orange}{456} - 123 = 333 $$

Beispiel 12

$$ Q_3^{'}(12\class{mb-orange}{345}) = \class{mb-orange}{345} - 12 = 333 $$

Beispiel 13

$$ Q_3^{'}(1\class{mb-orange}{234}) = \class{mb-orange}{234} - 1 = 233 $$

Beispiel 14

$$ Q_3^{'}(\class{mb-orange}{123}) = \class{mb-orange}{123} $$

Beispiel 15

$$ Q_3^{'}(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12} $$

Beispiel 16

$$ Q_3^{'}(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1} $$

Praktische Bedeutung

Die alternierende 3er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $1001$ teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch $1001$ teilbar ist.

Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:


$7 \mid a$	wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $7$ teilbar ist
$11 \mid a$	wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $11$ teilbar ist
$13 \mid a$	wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $13$ teilbar ist
$77 \mid a$	wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $77$ teilbar ist
$91 \mid a$	wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $91$ teilbar ist
$143\mid a$	wenn die alternierende 3er-Quersumme durch $143$ teilbar ist

Anmerkung: Die Teilermenge von $1001$ ist $T_{1001} = \{1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001\}$ .