Quersummenregeln

In diesem Kapitel schauen wir uns spezielle Teilbarkeitsregeln, die sog. Quersummenregeln, an.

Praktische Bedeutung

Die zentrale Frage in der Teilbarkeitslehre lautet: „Ist \(a\) durch \(t\) ohne Rest teilbar?“
Um diese Frage zur beantworten, müssen wir nicht immer schriftlich dividieren (\(a : t\)). Oft erleichtern uns die sog. Teilbarkeitsregeln die Entscheidung über die Teilbarkeit einer Zahl.

Die Teilbarkeitsregeln, die anhand der Quersumme einer Zahl über deren Teilbarkeit durch eine andere Zahl entscheiden, heißen Quersummenregeln.

Wichtige Quersummenregeln im Überblick

Hinweis: Durch Klick auf eine der fettgedruckten Zahlen (z. B. auf \(9 \mid a\)) in der Auflistung gelangst du zu einer Unterseite mit ausführlichen Beispielen zur jeweiligen Quersummenregel.

Zur Erinnerung: \(9 \mid a\) lesen wir als „9 teilt a“.

1. Basierend auf nichtalternierenden Quersummen

Nichtalternierende Quersummen liefern ein Teilbarkeitskriterium für die Zahlen \(99\), \(99\), \(999\), \(9999\) \(\dots\) und ihre Teiler, denn der Teiler eines Teilers einer Zahl ist auch Teiler der Zahl.

1er-Quersumme  
\(9 \mid a\) wenn die Quersumme durch \(9\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(3 \mid a\) wenn die Quersumme durch \(3\) teilbar ist
2er-Quersumme  
\(99 \mid a\) wenn die 2er-Quersumme durch \(99\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(11 \mid a\) wenn die 2er-Quersumme durch \(11\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(33 \mid a\) wenn die 2er-Quersumme durch \(33\) teilbar ist
3er-Quersumme  
\(999 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(999\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(3 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(3\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(9 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(9\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(27 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(27\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(37 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(37\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(111 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(111\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(333 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(333\) teilbar ist

2. Basierend auf alternierenden Quersummen

Alternierende Quersummen liefern ein Teilbarkeitskriterium für die Zahlen \(11\), \(101\), \(1001\), \(10001\) \(\dots\) und ihre Teiler, denn der Teiler eines Teilers einer Zahl ist auch Teiler der Zahl.

Alternierende
1er-Quersumme
 
\(11 \mid a\) * wenn die alternierende Quersumme durch \(11\) teilbar ist
Alternierende
2er-Quersumme
 
\(101 \mid a\) * wenn die alternierende 2er-Quersumme durch \(101\) teilbar ist
Alternierende
3er-Quersumme
 
\(1001 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(1001\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(7 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(7\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(11 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(11\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(13 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(13\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(77 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(77\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(91 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(91\) teilbar ist
\(\Rightarrow\) \(143 \mid a\) wenn die alternierende 3er-Quersumme durch \(143\) teilbar ist

* \(11\) und \(101\) sind Primzahlen. Sie haben also keine echten Teiler.

Anmerkung

Quersummenregeln, die auf alternierenden Quersummen basieren, werden nur selten in der Schule behandelt. Nur der Vollständigkeit halber habe ich einige dieser Regeln hier erwähnt.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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