k-Quersumme
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die (nichtalternierende) \(k\)-Quersumme ist.
Benötigtes Vorwissen
- Teilbarkeitsregeln \(\rightarrow\) Quersummenregeln \(\rightarrow\) Quersumme
Die \(k\)-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die Summe der \(k\)-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden.
Synonym
- (Nichtalternierende) Quersumme \(k\)-ter Stufe
Schreibweise
- \(Q_k(a)\)
Sprechweise
- „Q k von a“
- „Die k-Quersumme von a“
Praktische Bedeutung
Die nichtalternierende \(k\)-Quersumme liefert ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von \(10^k - 1\).
Im Folgenden schauen wir uns exemplarisch die Fälle für \(k = 1\), \(k = 2\) und \(k = 3\) an.
(Nichtalternierende) 1er-Quersumme
Die 1er-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die Summe der 1-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden.
Synonyme
- (Nichtalternierende) Quersumme 1. Stufe
- Vereinfacht: Quersumme \(Q\) (Kennen wir bereits!)
Beispiele
- \(Q_1(123\class{mb-orange}{4}) = \class{mb-orange}{4} + 3 + 2 + 1 = 10\)
- \(Q_1(12\class{mb-orange}{3}) = \class{mb-orange}{3} + 2 + 1 = 6\)
- \(Q_1(1\class{mb-orange}{2}) = \class{mb-orange}{2} + 1 = 3\)
- \(Q_1(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1}\)
Praktische Bedeutung
Die (nichtalternierende) 1er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(9\) teilbar,
wenn ihre 1er-Quersumme durch \(9\) teilbar ist.
Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:
| \(3\mid a\) | wenn die 1er-Quersumme durch \(3\) teilbar ist |
Anmerkung: Die Teilermenge von \(9\) ist \(T_{9} = \{1, 3, 9\}\).
(Nichtalternierende) 2er-Quersumme
Die 2er-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die Summe der 2-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden.
Synonym
- (Nichtalternierende) Quersumme 2. Stufe
Beispiele
- \(Q_2(1234\class{mb-orange}{56}) = \class{mb-orange}{56} + 34 + 12 = 102\)
- \(Q_2(12\class{mb-orange}{34}) = \class{mb-orange}{34} + 12 = 46\)
- \(Q_2(1\class{mb-orange}{23}) = \class{mb-orange}{23} + 1 = 24\)
- \(Q_2(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12}\)
- \(Q_2(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1}\)
Praktische Bedeutung
Die (nichtalternierende) 2er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(99\) teilbar,
wenn ihre 2er-Quersumme durch \(99\) teilbar ist.
Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:
| \(11 \mid a\) | wenn die 2er-Quersumme durch \(11\) teilbar ist |
| \(33 \mid a\) | wenn die 2er-Quersumme durch \(33\) teilbar ist |
Anmerkung: Die Teilermenge von \(99\) ist \(T_{99} = \{1, 11, 33, 99\}\).
(Nichtalternierende) 3er-Quersumme
Die 3er-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die Summe der 3-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden.
Synonym
- (Nichtalternierende) Quersumme 3. Stufe
Beispiele
- \(Q_3(123456\class{mb-orange}{789}) = \class{mb-orange}{789} + 456 + 123 = 1368\)
- \(Q_3(123\class{mb-orange}{456}) = \class{mb-orange}{456} + 123 = 579\)
- \(Q_3(12\class{mb-orange}{345}) = \class{mb-orange}{345} + 12 = 457\)
- \(Q_3(1\class{mb-orange}{234}) = \class{mb-orange}{234} + 1 = 235\)
- \(Q_3(\class{mb-orange}{123}) = \class{mb-orange}{123}\)
- \(Q_3(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12}\)
- \(Q_3(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1}\)
Praktische Bedeutung
Die (nichtalternierende) 3er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(999\) teilbar,
wenn ihre 3er-Quersumme durch \(999\) teilbar ist.
Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:
| \(3 \mid a\) | wenn die 3er-Quersumme durch \(3\) teilbar ist |
| \(9 \mid a\) | wenn die 3er-Quersumme durch \(9\) teilbar ist |
| \(27 \mid a\) | wenn die 3er-Quersumme durch \(27\) teilbar ist |
| \(37 \mid a\) | wenn die 3er-Quersumme durch \(37\) teilbar ist |
| \(111 \mid a\) | wenn die 3er-Quersumme durch \(111\) teilbar ist |
| \(333 \mid a\) | wenn die 3er-Quersumme durch \(333\) teilbar ist |
Anmerkung: Die Teilermenge von \(999\) ist \(T_{999} = \{1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999\}\).