k-Quersumme

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die (nichtalternierende) \(k\)-Quersumme ist.

Benötigtes Vorwissen

Die \(k\)-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die Summe der \(k\)-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden.

Synonym

  • (Nichtalternierende) Quersumme \(k\)-ter Stufe

Schreibweise

  • \(Q_k(a)\)

Sprechweise

  • „Q k von a“
  • „Die k-Quersumme von a“

Praktische Bedeutung

Die nichtalternierende \(k\)-Quersumme liefert ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von \(10^k - 1\).

Im Folgenden schauen wir uns exemplarisch die Fälle für \(k = 1\), \(k = 2\) und \(k = 3\) an.

(Nichtalternierende) 1er-Quersumme

Die 1er-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die Summe der 1-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden.

Synonyme

  • (Nichtalternierende) Quersumme 1. Stufe
  • Vereinfacht: Quersumme \(Q\) (Kennen wir bereits!)

Beispiele

  • \(Q_1(123\class{mb-orange}{4}) = \class{mb-orange}{4} + 3 + 2 + 1 = 10\)
  • \(Q_1(12\class{mb-orange}{3}) = \class{mb-orange}{3} + 2 + 1 = 6\)
  • \(Q_1(1\class{mb-orange}{2}) = \class{mb-orange}{2} + 1 = 3\)
  • \(Q_1(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1}\)

Praktische Bedeutung

Die (nichtalternierende) 1er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(9\) teilbar,
wenn ihre 1er-Quersumme durch \(9\) teilbar ist.

Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:

\(3\mid a\) wenn die 1er-Quersumme durch \(3\) teilbar ist

Anmerkung: Die Teilermenge von \(9\) ist \(T_{9} = \{1, 3, 9\}\).

(Nichtalternierende) 2er-Quersumme

Die 2er-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die Summe der 2-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden.

Synonym

  • (Nichtalternierende) Quersumme 2. Stufe

Beispiele

  • \(Q_2(1234\class{mb-orange}{56}) = \class{mb-orange}{56} + 34 + 12 = 102\)
  • \(Q_2(12\class{mb-orange}{34}) = \class{mb-orange}{34} + 12 = 46\)
  • \(Q_2(1\class{mb-orange}{23}) = \class{mb-orange}{23} + 1 = 24\)
  • \(Q_2(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12}\)
  • \(Q_2(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1}\)

Praktische Bedeutung

Die (nichtalternierende) 2er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(99\) teilbar,
wenn ihre 2er-Quersumme durch \(99\) teilbar ist.

Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:

\(11 \mid a\) wenn die 2er-Quersumme durch \(11\) teilbar ist
\(33 \mid a\) wenn die 2er-Quersumme durch \(33\) teilbar ist

Anmerkung: Die Teilermenge von \(99\) ist \(T_{99} = \{1, 11, 33, 99\}\).

(Nichtalternierende) 3er-Quersumme

Die 3er-Quersumme einer natürlichen Zahl \(a\) ist die Summe der 3-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus \(a\) gebildet werden.

Synonym

  • (Nichtalternierende) Quersumme 3. Stufe

Beispiele

  • \(Q_3(123456\class{mb-orange}{789}) = \class{mb-orange}{789} + 456 + 123 = 1368\)
  • \(Q_3(123\class{mb-orange}{456}) = \class{mb-orange}{456} + 123 = 579\)
  • \(Q_3(12\class{mb-orange}{345}) = \class{mb-orange}{345} + 12 = 457\)
  • \(Q_3(1\class{mb-orange}{234}) = \class{mb-orange}{234} + 1 = 235\)
  • \(Q_3(\class{mb-orange}{123}) = \class{mb-orange}{123}\)
  • \(Q_3(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12}\)
  • \(Q_3(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1}\)

Praktische Bedeutung

Die (nichtalternierende) 3er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(999\) teilbar,
wenn ihre 3er-Quersumme durch \(999\) teilbar ist.

Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:

\(3 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(3\) teilbar ist
\(9 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(9\) teilbar ist
\(27 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(27\) teilbar ist
\(37 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(37\) teilbar ist
\(111 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(111\) teilbar ist
\(333 \mid a\) wenn die 3er-Quersumme durch \(333\) teilbar ist

Anmerkung: Die Teilermenge von \(999\) ist \(T_{999} = \{1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999\}\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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