k-Quersumme

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die (nichtalternierende) $\boldsymbol{k}$ -Quersumme ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Teilbarkeitsregeln + Quersummenregeln + Quersumme

Definition

Die $\boldsymbol{k}$ -Quersumme einer natürlichen Zahl $a$ ist die Summe der $k$ -stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus $a$ gebildet werden.

Synonym

(Nichtalternierende) Quersumme $k$ -ter Stufe

Schreibweise

$Q_k(a)$

Sprechweise

Q k von a
Die k-Quersumme von a

Praktische Bedeutung

Die nichtalternierende $k$ -Quersumme liefert ein Teilbarkeitskriterium für alle Teiler von $10^k - 1$ .

Im Folgenden schauen wir uns exemplarisch die Fälle für $k = 1$ , $k = 2$ und $k = 3$ an.

Beispiele

(Nichtalternierende) 1er-Quersumme

Die 1er-Quersumme einer natürlichen Zahl $a$ ist die Summe der 1-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus $a$ gebildet werden.

Synonyme

(Nichtalternierende) Quersumme 1. Stufe
Vereinfacht: Quersumme $Q$ (Kennen wir bereits!)

Beispiel 1

$$ Q_1(123\class{mb-orange}{4}) = \class{mb-orange}{4} + 3 + 2 + 1 = 10 $$

Beispiel 2

$$ Q_1(12\class{mb-orange}{3}) = \class{mb-orange}{3} + 2 + 1 = 6 $$

Beispiel 3

$$ Q_1(1\class{mb-orange}{2}) = \class{mb-orange}{2} + 1 = 3 $$

Beispiel 4

$$ Q_1(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1} $$

Praktische Bedeutung

Die (nichtalternierende) 1er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $9$ teilbar, wenn ihre 1er-Quersumme durch $9$ teilbar ist.

Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:


$3\mid a$	wenn die 1er-Quersumme durch $3$ teilbar ist

Anmerkung: Die Teilermenge von $9$ ist $T_{9} = \{1, 3, 9\}$ .

(Nichtalternierende) 2er-Quersumme

Die 2er-Quersumme einer natürlichen Zahl $a$ ist die Summe der 2-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus $a$ gebildet werden.

Synonym

(Nichtalternierende) Quersumme 2. Stufe

Beispiel 5

$$ Q_2(1234\class{mb-orange}{56}) = \class{mb-orange}{56} + 34 + 12 = 102 $$

Beispiel 6

$$ Q_2(12\class{mb-orange}{34}) = \class{mb-orange}{34} + 12 = 46 $$

Beispiel 7

$$ Q_2(1\class{mb-orange}{23}) = \class{mb-orange}{23} + 1 = 24 $$

Beispiel 8

$$ Q_2(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12} $$

Beispiel 9

$$ Q_2(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1} $$

Praktische Bedeutung

Die (nichtalternierende) 2er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $99$ teilbar, wenn ihre 2er-Quersumme durch $99$ teilbar ist.

Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:


$11 \mid a$	wenn die 2er-Quersumme durch $11$ teilbar ist
$33 \mid a$	wenn die 2er-Quersumme durch $33$ teilbar ist

Anmerkung: Die Teilermenge von $99$ ist $T_{99} = \{1, 11, 33, 99\}$ .

(Nichtalternierende) 3er-Quersumme

Die 3er-Quersumme einer natürlichen Zahl $a$ ist die Summe der 3-stelligen Zahlen, die rechts beginnend aus $a$ gebildet werden.

Synonym

(Nichtalternierende) Quersumme 3. Stufe

Beispiel 10

$$ Q_3(123456\class{mb-orange}{789}) = \class{mb-orange}{789} + 456 + 123 = 1368 $$

Beispiel 11

$$ Q_3(123\class{mb-orange}{456}) = \class{mb-orange}{456} + 123 = 579 $$

Beispiel 12

$$ Q_3(12\class{mb-orange}{345}) = \class{mb-orange}{345} + 12 = 457 $$

Beispiel 13

$$ Q_3(1\class{mb-orange}{234}) = \class{mb-orange}{234} + 1 = 235 $$

Beispiel 14

$$ Q_3(\class{mb-orange}{123}) = \class{mb-orange}{123} $$

Beispiel 15

$$ Q_3(\class{mb-orange}{12}) = \class{mb-orange}{12} $$

Beispiel 16

$$ Q_3(\class{mb-orange}{1}) = \class{mb-orange}{1} $$

Praktische Bedeutung

Die (nichtalternierende) 3er-Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit helfen, denn

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $999$ teilbar, wenn ihre 3er-Quersumme durch $999$ teilbar ist.

Da alle Teiler eines Teilers einer Zahl auch Teiler der Zahl sind, gilt ebenso:


$3 \mid a$	wenn die 3er-Quersumme durch $3$ teilbar ist
$9 \mid a$	wenn die 3er-Quersumme durch $9$ teilbar ist
$27 \mid a$	wenn die 3er-Quersumme durch $27$ teilbar ist
$37 \mid a$	wenn die 3er-Quersumme durch $37$ teilbar ist
$111 \mid a$	wenn die 3er-Quersumme durch $111$ teilbar ist
$333 \mid a$	wenn die 3er-Quersumme durch $333$ teilbar ist

Anmerkung: Die Teilermenge von $999$ ist $T_{999} = \{1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999\}$ .