Alternierende Quersumme

In diesem Kapitel besprechen wir, was die alternierende Quersumme einer natürlichen Zahl ist.

Die alternierende Summe der Ziffern* einer natürlichen Zahl heißt alternierende Quersumme.

*Exakter formuliert: „[...] Summe der Zahlen, die von den einzelnen Ziffern dargestellt werden“, denn Ziffern sind eigentlich nur geschriebene Zeichen, mit denen wir nicht rechnen können.

Synonyme

  • Querdifferenz
  • Paarquersumme
  • Wechselsumme
  • Alternierende 1-Quersumme / 1er-Quersumme / Quersumme 1. Stufe
    (\(\rightarrow\) Alternierende \(k\)-Quersumme)

Schreibweise

  • \(Q^{'}(n)\)

Sprechweise

  • „Q Strich von n“
  • „Die alternierende Quersumme von n“

Übersetzung

Alternierend leitet sich von dem Lateinischen „alternare“ ab, was so viel wie „abwechseln“ bedeutet. Gemeint ist hier „mit abwechselndem Vorzeichen“: Die alternierende Summe der Ziffern erhalten wir nämlich, indem wir die einzelnen Ziffern einer natürlichen Zahl von rechts, also bei der Einerstelle, beginnend abwechselnd subtrahieren und addieren.

Beispiele

  • \(Q^{'}(1234) = 4 - 3 + 2 - 1 = 2\)
  • \(Q^{'}(4321) = 1 - 2 + 3 - 4 = -2\)
  • \(Q^{'}(3223) = 3 - 2 + 2 - 3 = 0\)

Wir beobachten: Die alternierende Quersumme einer natürlichen Zahl ist nicht immer eine natürliche Zahl. Auch die \(0\) und negative ganze Zahlen sind als Ergebnisse möglich.

Rechentrick

Um bei größeren Zahlen die Rechnung zu vereinfachen, können wir zuerst alle Subtrahenden und Minuenden getrennt voneinander summieren und anschließend deren Differenz berechnen.

\(\begin{align}
Q^{'}(68786979)
&= \class{mb-green}{9} \class{mb-red}{- 7} \class{mb-green}{+ 9} \class{mb-red}{- 6} \class{mb-green}{+ 8} \class{mb-red}{- 7} \class{mb-green}{+ 8} \class{mb-red}{- 6}\\
&= \class{mb-green}{9 + 9 + 8 + 8} \class{mb-red}{- 7 - 6 - 7 - 6} \\
&= \class{mb-green}{9 + 9 + 8 + 8} \class{mb-red}{- (7 + 6 + 7 + 6)} \\
&= \class{mb-green}{34} \class{mb-red}{- 26} \\
& = 8
\end{align}\)

In der 1. Zeile müssten wir viermal subtrahieren, in der 4. Zeile nur einmal.

Praktische Bedeutung

Die alternierende Quersumme kann bei der Untersuchung der Teilbarkeit einer Zahl helfen:

\(11 \mid a\) wenn die alternierende Quersumme durch \(11\) teilbar ist
Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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