Mathebibel.de / Erklärungen / Algebra / Gleichungen / Quadratische Gleichungen / Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen lösen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man quadratische Gleichungen löst.
[Wiederholung: Was ist eine quadratische Gleichung?]

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades, d.h. die Variable \(x\) kommt in keiner höheren als der zweiten Potenz vor.

Nach der Gestalt der quadratischen Gleichung lassen sich folgende vier Fälle unterscheiden:

  1. \(ax^2 = 0\)
  2. \(ax^2 + c = 0\)
  3. \(ax^2 + bx = 0\)
  4. \(ax^2 + bx + c = 0\)

Den 4. Fall bezeichnet man als allgemeine Form einer quadratischen Gleichung.

1. Fall: \(ax^2 = 0\)

Gleichungen vom Typ \(ax^2 = 0\) besitzen als einzige Lösung die Null.

Beispiele

\(\phantom{-}4x^2 = 0 \qquad \Rightarrow x = 0\)

\(-2x^2 = 0 \qquad \Rightarrow x = 0\)

\(0,5x^2 = 0 \qquad \Rightarrow x = 0\)

2. Fall: \(ax^2 + c = 0\)

Vorgehensweise

  1. Gleichung nach \(x^2\) auflösen
  2. Wurzel ziehen

Beispiel 1

\(x^2 - 9 = 0\)

1.) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

\(x^2 - 9 = 0 \qquad |{\color{red}+9}\)

\(x^2 - 9 {\color{red}\:+\:9} = {\color{red}+9}\)

\(x^2 = 9\)

2.) Wurzel ziehen

\(x^2 = 9 \qquad |\sqrt{\phantom{9}}\)

\(x = \pm \sqrt{9}\)

\(x = \pm 3\)

\(\Rightarrow x_1 = -3\)

\(\Rightarrow x_2 = 3\)

Beispiel 2

\(2x^2 + 8 = 0\)

1.) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

\(2x^2 + 8 = 0 \qquad |{\color{red}-8}\)

\(2x^2 + 8 {\color{red}\:-\:8} = {\color{red}-8}\)

\(2x^2 = -8 \qquad |:{\color{maroon}2}\)

\(\frac{2x^2}{{\color{maroon}2}} = \frac{-8}{{\color{maroon}2}}\)

\(x^2 = -4\)

2.) Wurzel ziehen

\(x^2 = -4 \qquad |\sqrt{\phantom{9}}\)

\(x = \pm \sqrt{-4}\)

Die Wurzel einer negativen Zahl ist (in \(\mathbb{R}\)) nicht definiert!
\(\Rightarrow\) Es gibt keine Lösungen, d.h. die Lösungsmenge ist leer: \(\mathbb{L} = \{\}\).

3. Fall: \(ax^2 + bx = 0\)

Vorgehensweise

  1. \(x\) ausklammern
  2. Faktoren gleich Null setzen

zu 1.)

siehe Kapitel Ausklammern

zu 2.)

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist (> Satz vom Nullprodukt).

Beispiel 1

\(x^2 + 9x = 0\)

1.) \(x\) ausklammern

\(x \cdot (x + 9) = 0\)

2.) Faktoren gleich Null setzen

\(\underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(x+9)}_{\text{2. Faktor}} = 0\)

1. Faktor

\(x = 0\)

\(\Rightarrow x_1 = 0\)

2. Faktor

\(x + 9 = 0 \qquad |{\color{red}-9}\)

\(x + 9 {\color{red}\:-\:9} = {\color{red}-9}\)

\(x = -9\)

\(\Rightarrow x_2 = -9\)

Beispiel 2

\(-2x^2 + 4x = 0\)

1.) \(x\) ausklammern

\(x \cdot (-2x + 4) = 0\)

2.) Faktoren gleich Null setzen

\(\underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(-2x + 4)}_{\text{2. Faktor}} = 0\)

1. Faktor

\(x = 0\)

\(\Rightarrow x_1 = 0\)

2. Faktor

\(-2x + 4 = 0 \qquad |{\color{red}-4}\)

\(-2x + 4 {\color{red}\:-\:4} = {\color{red}-4}\)

\(-2x = -4 \qquad |:({\color{maroon}-2})\)

\(\frac{-2x}{{\color{maroon}-2}} = \frac{-4}{{\color{maroon}-2}}\)

\(x = 2\)

\(\Rightarrow x_2 = 2\)

4. Fall: \(ax^2 + bx + c = 0\)

Zu guter Letzt der schwierigste Fall: \(ax^2 + bx + c = 0\). Das Lösen dieser Art von quadratischen Gleichungen ist leider nicht so einfach. Grund dafür ist, dass man eine der folgenden Lösungsformeln beherrschen muss:

Neben diesen beiden populären Verfahren gibt es noch den Satz von Vieta, mit dessen Hilfe man quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen (im Kopf) lösen kann.

Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, dass man auch mit Hilfe der quadratischen Ergänzung quadratische Gleichungen lösen kann. Da dieses Verfahren jedoch sehr rechenaufwändig ist, hat es keine praktische Bedeutung.

Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

JETZT NEU! Matheaufgaben lösen und tolle Preise gewinnen!