Matrizenrechnung - Grundlagen

In diesem Kapitel lernen wir, was eine Matrix ist, welche Eigenschaften Matrizen besitzen und welche besonderen Matrizen es gibt.

Definition einer Matrix

Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema, dessen Elemente meist Zahlen sind. Des Weiteren kommen z.B. Variablen oder Funktionen als Elemente der Matrix in Frage.

Eine Matrix besteht aus \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten und wird (m,n)-Matrix genannt. Die Dimension einer Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten ist \(m \times n\).

Die Position eines Elementes - z.B. \(a_{ij}\) - wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet. Dabei gibt der erste Index \(i\) die Zeile und der zweite Index \(j\) die Spalte an, in der das Element steht.

\(A =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}\)

Beispiel

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}\)

Dies ist eine (3,2)-Matrix, also eine Matrix mit 3 Zeilen und 2 Spalten. Zum Beispiel ist \(a_{21} = 4\) das Element, das in der zweiten Zeile und in der ersten Spalte steht.

Rechnen mit Matrizen

Matrizen lassen sich addieren, subtrahieren und multiplizieren. Außerdem kann man Matrizen transponieren sowie invertieren. Wie das funktioniert und was man dabei beachten muss, erfährst du in eigenen Artikeln.

Besondere Matrizen

Im Folgenden werden einige Matrizen genannt, die sich durch ihre besondere Gestalt von anderen Matrizen unterscheiden.

Quadratische Matrizen

Matrizen, die die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten (\(m = n\)) besitzen, heißen quadratisch. Bekannte Vertreter dieser Gattung sind die 2x2- und 3x3-Matrizen, die häufig in Schule und Studium vorkommen.

\(A = \begin{pmatrix}{\color{red}a_{11}}& a_{12} & a_{13} \\ a_{21} &{\color{red}a_{22}}& a_{23} \\ a_{31} & a_{32} &{\color{red}a_{33}}\end{pmatrix}\)

Die Elemente einer quadratischen Matrix, für die \(i = j\) gilt, bilden die sog. Hauptdiagonale der Matrix.

Nullmatrix

Sind alle Elemente einer Matrix gleich Null, so heißt sie Nullmatrix.

\(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Als Beispiel dient eine 2x2-Nullmatrix.

Einheitsmatrix

Eine Matrix, bei der die Elemente der Hauptdiagonale gleich Eins und alle anderen Elemente gleich Null sind, heißt Einheitsmatrix.

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Diagonalmatrix

Eine Matrix, bei der alle Elemente - außer die Elemente der Hauptdiagonale - gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix.

\(A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)

Hinweis: Die Einheitsmatrix (Elemente der Hauptdiagonale gleich Eins) sowie die Nullmatrix (Elemente der Hauptdiagonale gleich Null) sind spezielle Diagonalmatrizen.

Obere Dreiecksmatrix

Sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null, so heißt die Matrix "obere Dreiecksmatrix".

\(A = \begin{pmatrix}{\color{red}3}&{\color{red}4}&{\color{red}1}\\ 0 &{\color{red}-5}&{\color{red}4}\\ 0 & 0 &{\color{red}4}\end{pmatrix}\)

Untere Dreiecksmatrix

Sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null, so heißt die Matrix "untere Dreiecksmatrix".

\(A = \begin{pmatrix}{\color{red}3}& 0 & 0 \\{\color{red}1}&{\color{red}-2}& 0 \\{\color{red}5}&{\color{red}5}&{\color{red}4}\end{pmatrix}\)

Weitere Matrizen...

Zu den folgenden Matrizen haben wir jeweils einen eigenen Artikel geschrieben

Wie du siehst, handelt es sich bei dem Thema Matrizenrechnung um einen relativen großen Teilbereich der Mathematik. Dies liegt vor allem an der großen Bedeutung von Matrizen in der Praxis.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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