Ereignisalgebra
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Ereignisalgebra.
Erforderliches Vorwissen
- Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.
- Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis
$\omega$(Klein-Omega
). - Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum
$\Omega$(Groß-Omega
). - Jede Teilmenge
$E$des Ergebnisraums$\Omega$heißt Ereignis. - Ein Ereignis
$E$tritt ein, wenn das Ergebnis$\omega$ein Element von$E$ist.
| Zufallsexperiment | Werfen eines Würfels |
| Ergebnisse | $\omega_1 = 1$, $\omega_2 = 2$, $\omega_3 = 3$, $\omega_4 = 4$, $\omega_5 = 5$, $\omega_6 = 6$ |
| Ergebnisraum | $$\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ |
| Ereignis | $$E\colon \text{„Gerade Augenzahl“} \quad \Rightarrow \quad E = \{2, 4, 6\}$$ |
| Ereignis tritt ein | Wir würfeln eine $4$ $\Rightarrow$ $E = \{2, 4, 6\}$ ist eingetreten. |
Was ist das?
Die Ereignisalgebra lehrt uns, mit Ereignissen zu rechnen.
Da ein Ereignis eine Menge ist, handelt es sich bei der Ereignisalgebra letztlich um Mengenalgebra. Deshalb sprechen Mathematiker in diesem Zusammenhang auch oft von der Verknüpfung von Ereignissen
in Anlehnung an die Verknüpfung von Mengen.
Verknüpfungen von Ereignissen
Aufgabenstellung
Ein Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl festgestellt.
Ereignisraum
$$ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $$
Wir interessieren uns für die beiden Ereignisse
$$ A\colon \text{„Augenzahl ist gerade“} = \{2, 4, 6\} $$
$$ B\colon \text{„Augenzahl ist Primzahl“} = \{2, 3, 5\} $$
Vereinigung
Das Ereignis $A \cup B$ (sprich: A oder B
) ist die Menge aller Elemente,
die entweder zu $A$ oder zu $B$ – oder zu beiden Ereignissen – gehören:
$$ A \cup B = \{\omega\,|\, \omega \in A \enspace \vee \enspace \omega \in B\} $$
Sprechweise
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cup B}_\text{A oder B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\omega}_{\omega}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in A}_{\omega\text{ ist Element von A}}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\vee}_\text{oder}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in B}_{\omega\text{ ist Element von B}}~~ \} $$
Bezeichnung
$A \cup B$ heißt Vereinigung von $A$ und $B$ (siehe Vereinigungsmenge).
Mengendiagramm
$$ A = \{{\color{red}2}, {\color{red}4}, {\color{red}6}\} $$
$$ B = \{{\color{red}2}, {\color{red}3}, {\color{red}5}\} $$
$$ \Rightarrow A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\} $$
Anmerkung: Obwohl das Element 2
sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommt, wird es in der Menge $A \cup B$ nur einmal genannt. Grund dafür ist, dass in einer Menge jedes Element nur einmal vorkommen kann. Mehrfachnennungen sind ausgeschlossen!
Durchschnitt
Das Ereignis $A \cap B$ (sprich: A und B
) ist die Menge aller Elemente,
die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören:
$$ A \cap B = \{\omega\,|\, \omega \in A \enspace \wedge \enspace \omega \in B\} $$
Sprechweise
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cap B}_\text{A und B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\omega}_{\omega}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in A}_{\omega\text{ ist Element von A}}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in B}_{\omega\text{ ist Element von B}}~~ \} $$
Bezeichnung
$A \cap B$ heißt Durchschnitt von $A$ und $B$ (siehe Schnittmenge).
Mengendiagramm
$$ A = \{{\color{red}2}, 4, 6\} $$
$$ B = \{{\color{red}2}, 3, 5\} $$
$$ \Rightarrow A \cap B = \{2\} $$
Gegenereignis
Das $\overline{A}$ (sprich: nicht A
oder A quer
) ist die Menge aller Elemente,
die nicht zu $A$ gehören:
$$ \overline{A} = \{\omega \,|\, \omega \notin A\} $$
Sprechweise
$$ \underbrace{\vphantom{\vert}\overline{A}}_\text{A quer}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\{}_\text{die Menge aller}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega}_{\omega}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}|}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \notin A}_{\omega\text{ ist kein Element von A}}~~ \} $$
Bezeichnung
$\overline{A}$ heißt Gegenereignis oder Komplementärereignis zu $A$ (siehe Komplement).
Mengendiagramm
$$ \Omega = \{{\color{red}1}, {\color{green}2}, {\color{red}3}, {\color{green}4}, {\color{red}5}, {\color{green}6}\} $$
$$ A = \{{\color{green}2}, {\color{green}4}, {\color{green}6}\} $$
$$ \Rightarrow \overline{A} = \{1, 3, 5\} $$
Differenz
Das Ereignis $A \setminus B$ (sprich: A ohne B
) ist die Menge aller Elemente,
die zu $A$, nicht aber zu $B$ gehören:
$$ A \setminus B = A \cap \overline{B} = \{\omega \,|\, \omega \in A \enspace \wedge \enspace \omega \notin B\} $$
Sprechweise
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \setminus B}_\text{A ohne B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\omega}_{\omega}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \in A}_{\omega\text{ ist Element von A}}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\omega \notin B}_{\omega\text{ ist kein Element von B}}~~ \} $$
Bezeichnung
$A \setminus B$ heißt Differenz von $A$ und $B$ (siehe Differenzmenge).
Mengendiagramm
$$ A = \{{\color{green}2}, {\color{red}4}, {\color{red}6}\} $$
$$ B = \{{\color{green}2}, 3, 5\} $$
$$ \Rightarrow A \setminus B = \{4, 6\} $$
Symmetrische Differenz
Das Ereignis $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ ist die Menge aller Elemente,
die zu $A$ oder zu $B$, nicht aber zu beiden Ereignissen gehören.
Mengendiagramm
$$ A = \{{\color{green}2}, {\color{red}4}, {\color{red}6}\} $$
$$ B = \{{\color{green}2}, {\color{red}3}, {\color{red}5}\} $$
$$ \Rightarrow (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = \{3, 4, 5, 6\} $$
Disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen disjunkt (oder unvereinbar),
wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben:
$$ A \cap B = \varnothing \quad \Leftrightarrow \quad A \text{ und } B \text{ sind disjunkt} $$
Mengendiagramm
$$ A\colon \text{„Augenzahl ist gerade“} = \{2, 4, 6\} $$
$$ B\colon \text{„Augenzahl ist ungerade“} = \{1, 3, 5\} $$
$$ \Rightarrow A \cap B = \{\,\} = \varnothing $$
Rechengesetze der Ereignisalgebra
Bei Vereinigung und Durchschnitt spielt die Reihenfolge der Ereignisse keine Rolle:
| Kommutativgesetze | Bei Zahlen (siehe Kommutativgesetz) |
|---|---|
$A \cup B = B \cup A$ | ${\color{grey}a + b = b + a}$ |
$A \cap B = B \cap A$ | ${\color{grey}a \cdot b = b \cdot a}$ |
Bei mehr als zwei Ereignissen spielt die Art der Klammerung keine Rolle:
| Assoziativgesetze | Bei Zahlen (siehe Assoziativgesetz) |
|---|---|
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ | ${\color{grey}(a + b) + c = a + (b + c)}$ |
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ | ${\color{grey}(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}$ |
Zwischen Vereinigung und Durchschnitt bestehen außerdem folgende Zusammenhänge:
| Distributivgesetze | Bei Zahlen (siehe Distributivgesetz) |
|---|---|
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ | ${\color{grey}a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)}$ |
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ | ${\color{grey}\text{Dieses Gesetz gibt es bei Zahlen nicht!}}$ |
Weitere Gesetze der Ereignisalgebra
| Absorptionsgesetze | $A \cap (A \cup B) = A$$A \cup (A \cap B) = A$ |
| Idempotenzgesetze | $A \cap A = A$$A \cup A = A$ |
| De-Morgan-Gesetze | $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ |
| Neutrale Elemente | $A \cap \Omega = A$$A \cup \varnothing = A$ |
| Dominante Elemente | $A \cap \varnothing = \varnothing$$A \cup \Omega = \Omega$ |
| Komplemente | $A \cap \overline{A} = \varnothing$$A \cup \overline{A} = \Omega$$\overline{\overline{A}} = A$ |
