Zufallsexperiment
Im Chemie- und Physikunterricht werden regelmäßig Versuche durchgeführt. Einer dieser Versuche könnte das Messen der Siedetemperatur von Wasser sein. Egal, wie oft wir den Versuch durchführen, wir erhalten stets dasselbe Ergebnis: Wasser verdampft bei 100 °C.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen wir mit Versuchen, deren Ergebnisse sich nicht vorhersagen lassen, d. h. vom Zufall abhängig sind. Zu dieser Art von Versuchen zählt das Werfen einer Münze. Bekanntlich können wir nicht vorhersagen, ob Kopf
oder Zahl
oben liegt.
Definition
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.
Befragung einer unbekannten Person nach der Partei, die diese bei der letzten Wahl gewählt hat
Messung einer physikalischen Größe mit einer bestimmten Messmethode
(wegen der unvermeidlichen, zufälligen Messabweichungen)
Eigenschaften eines Zufallsexperiments
Ein Versuch heißt Zufallsexperiment, falls
(a) er unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist,
(b) alle möglichen Ergebnisse vor Durchführung bekannt sind und
(c) sein Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt.
Das Werfen einer Münze ist ein Zufallsexperiment, denn
(a) es lässt sich unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen,
(b) alle möglichen Ergebnisse (Kopf
und Zahl
) sind vor Durchführung bekannt und
(c) sein Ergebnis (Kopf
oder Zahl
) lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen.
Das Messen der Siedetemperatur von Wasser ist kein Zufallsexperiment, denn
(a) es lässt sich zwar unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen und
(b) alle möglichen Ergebnisse (100 °C) sind vor Durchführung bekannt, aber
(c) sein Ergebnis (100 °C) lässt sich mit Sicherheit vorhersagen.
Arten von Zufallsexperimenten
Einstufige Zufallsexperimente
Ein Zufallsexperiment, das nur einmal durchgeführt wird, heißt einstufig.
Mehrstufige Zufallsexperimente
Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren Schritt besteht, die für sich selbst auch Zufallsexperimente sind, heißt mehrstufig.
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf folgenden Grundbegriffen auf:
| Begriff | Bezeichnung | Beispiel |
|---|---|---|
| Zufallsexperiment | Werfen eines Würfels | |
| Ergebnis | $\omega$ (Klein-Omega) | Augenzahl 4 $\Rightarrow \omega = 4$ |
| Ergebnisraum | $\Omega$ (Groß-Omega) | $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ |
| Ereignis | ein lat. Großbuchstabe (z. B. $A, B, C\dots$) | $E\colon \text{„Augenzahl kleiner 4“}$$\Rightarrow E = \{1, 2, 3\}$ |
| Ereignisraum | $\mathcal{P}(\Omega)$ | $\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\,\}, \{1\},\dots,\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$ |
PS: Ich empfehle dir, die Mengenlehre noch einmal zu wiederholen!
