Zufallsexperiment

Im Chemie- und Physikunterricht werden regelmäßig Versuche durchgeführt. Einer dieser Versuche könnte das Messen der Siedetemperatur von Wasser sein. Egal, wie oft wir den Versuch durchführen, wir erhalten stets dasselbe Ergebnis: Wasser verdampft bei 100 °C. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen wir mit Versuchen, deren Ergebnisse sich nicht vorhersagen lassen, d. h. vom Zufall abhängig sind. Zu dieser Art von Versuchen zählt das Werfen einer Münze. Bekanntlich können wir nicht vorhersagen, ob Kopf oder Zahl oben liegt.

Definition 

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.

Beispiel 1 

Werfen einer Münze

Beispiel 2 

Werfen eines Würfels

Beispiel 3 

Ziehen einer Kugel aus einer Urne

Beispiel 4 

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel

Beispiel 5 

Drehen eines Glücksrads

Beispiel 6 

Roulette

Beispiel 7 

Lotto

Beispiel 8 

Auswahl einer Zahl zwischen 1 und 10 durch einen Zufallsgenerator

Beispiel 9 

Befragung einer unbekannten Person nach der Partei, die diese bei der letzten Wahl gewählt hat

Beispiel 10 

Messung einer physikalischen Größe mit einer bestimmten Messmethode
(wegen der unvermeidlichen, zufälligen Messabweichungen)

Eigenschaften eines Zufallsexperiments 

Ein Versuch heißt Zufallsexperiment, falls
(a) er unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist,
(b) alle möglichen Ergebnisse vor Durchführung bekannt sind und
(c) sein Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt.

Beispiel 11 

Das Werfen einer Münze ist ein Zufallsexperiment, denn
(a) es lässt sich unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen,
(b) alle möglichen Ergebnisse (Kopf und Zahl) sind vor Durchführung bekannt und
(c) sein Ergebnis (Kopf oder Zahl) lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen.

Beispiel 12 

Das Messen der Siedetemperatur von Wasser ist kein Zufallsexperiment, denn
(a) es lässt sich zwar unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen und
(b) alle möglichen Ergebnisse (100 °C) sind vor Durchführung bekannt, aber
(c) sein Ergebnis (100 °C) lässt sich mit Sicherheit vorhersagen.

Arten von Zufallsexperimenten 

Einstufige Zufallsexperimente 

Ein Zufallsexperiment, das nur einmal durchgeführt wird, heißt einstufig.

Beispiel 13 

Einmaliges Werfen einer Münze / eines Würfels

Beispiel 14 

Einmaliges Ziehen einer Karte aus einem gemischten Stapel

Mehrstufige Zufallsexperimente 

Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren Schritt besteht, die für sich selbst auch Zufallsexperimente sind, heißt mehrstufig.

Beispiel 15 

Zweimaliges Werfen einer Münze / eines Würfels

Beispiel 16 

Fünfmaliges Ziehen einer Karte aus einem gemischten Stapel

Grundlagen der Wahrscheinlichkeits­rechnung 

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf folgenden Grundbegriffen auf:

BegriffBezeichnungBeispiel
ZufallsexperimentWerfen eines Würfels
Ergebnis$\omega$ (Klein-Omega)Augenzahl 4 $\Rightarrow \omega = 4$
Ergebnisraum$\Omega$ (Groß-Omega)$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
Ereignisein lat. Großbuchstabe
(z. B. $A, B, C\dots$)
$E\colon \text{„Augenzahl kleiner 4“}$
$\Rightarrow E = \{1, 2, 3\}$
Ereignisraum$\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\,\}, \{1\},\dots,\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$

PS: Ich empfehle dir, die Mengenlehre noch einmal zu wiederholen!

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