Ereignis & Ereignisraum

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Ereignis, dem Ereignisraum und der Mächtigkeit des Ereignisraums eines Zufallsexperiments.

Erforderliches Vorwissen

  • Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.
  • Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis $\omega$ (Klein-Omega).
  • Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum $\Omega$ (Groß-Omega).

Beispiel 1 

ZufallsexperimentWerfen eines Würfels
Ergebnisse$\omega_1 = 1$, $\omega_2 = 2$, $\omega_3 = 3$, $\omega_4 = 4$, $\omega_5 = 5$, $\omega_6 = 6$
Ergebnisraum$$\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

Ereignis 

Meist interessieren wir uns bei einem Zufallsexperiment nicht für das Eintreten eines einzelnen Ergebnisses, sondern ob das Ergebnis zu einer bestimmten Menge von Ergebnissen gehört.

Beispiel 2 

Wer eine gerade Zahl würfelt, gewinnt

Wir betrachten die Mengen $\{2, 4, 6\}$ (Gerade Zahl) und $\{1, 3, 5\}$ (Ungerade Zahl).

Beispiel 3 

Wer eine 6 würfelt, gewinnt

Wir betrachten die Mengen $\{6\}$ (6) und $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (Nicht-6).

Jede Teilmenge des Ergebnisraums $\Omega$ heißt Ereignis $\boldsymbol{E}$.

Bezeichnung

Ereignisse werden mit großen Buchstaben $A, B, C, \dots$ (oder: $A_1, A_2, A_3,\dots$) bezeichnet.

Schreibweise

Ereignisse können verbal beschrieben werden oder durch Aufzählung ihrer Ergebnisse.

Beispiel 4 

Werfen eines Würfels

$$ \begin{align*} & A\colon \text{„Gerade Augenzahl“} && \Rightarrow \quad A = \{2, 4, 6\} \\[5px] & B\colon \text{„Ungerade Augenzahl“} && \Rightarrow \quad B = \{1, 3, 5\} \\[5px] & C\colon \text{„Augenzahl gleich 6“} && \Rightarrow \quad C = \{6\} \\[5px] & D\colon \text{„Augenzahl ungleich 6“} && \Rightarrow \quad D = \{1, 2, 3, 4, 5\} \\[5px] & E\colon \text{„Augenzahl kleiner als 7“} && \Rightarrow \quad E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \\[5px] & F\colon \text{„Augenzahl größer als 6“} && \Rightarrow \quad F = \{\} \end{align*} $$

Wir sagen:

Ein Ereignis $\boldsymbol{E}$ tritt ein, wenn das Ergebnis $\omega$ ein Element von $E$ ist.

Beispiel 5 

Werfen eines Würfels

Wir würfeln und erhalten als Ergebnis die Augenzahl 4, d. h. $\omega = 4$.

Das Ereignis $A = \{2, 4, 6\}$ ist eingetreten wegen $\omega \in A$.

Das Ereignis $B = \{1, 3, 5\}$ ist nicht eingetreten wegen $\omega \notin B$.

Besondere Ereignisse 

Ereignisse lassen sich nach der Anzahl ihrer Elemente voneinander unterscheiden.

Unmögliches Ereignis 

Das Ereignis, das kein Element enthält, heißt unmögliches Ereignis.

Beispiel 6 

$$ F = \text{„Augenzahl größer als 6“} = \{\,\} $$

Das unmögliche Ereignis tritt bei der Durchführung eines Zufallsexperiments nie ein!

Elementarereignis 

Ein Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis.

Beispiel 7 

$$ C = \text{„Augenzahl gleich 6“} = \{6\} $$

Zusammengesetztes Ereignis 

Ein Ereignis, das mehr als ein Element enthält, heißt zusammengesetztes Ereignis.

Beispiel 8 

$$ A = \text{„Gerade Augenzahl“} = \{2, 4, 6\} $$

Das bekannteste zusammengesetzte Ereignis ist das sichere Ereignis.

Sicheres Ereignis 

Das Ereignis, das alle Elemente von $\Omega$ enthält, heißt sicheres Ereignis.

Beispiel 9 

$$ E = \text{„Augenzahl kleiner als 7“} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $$

Das sichere Ereignis tritt bei der Durchführung eines Zufallsexperiments immer ein!

Ereignisraum 

Wir wollen alle möglichen Ereignisse, d. h. Teilmengen von $\Omega$, in einer Menge zusammenfassen.

[Für endliche Ergebnisräume gilt:]

Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum $\boldsymbol{\mathcal{P}(\Omega)}$.

$\mathcal{P}(\Omega)$ bezeichnet die Potenzmenge von $\Omega$, d. h. die Menge aller Teilmengen von $\Omega$.

Das unmögliche Ereignis und das sichere Ereignis gehören stets zum Ereignisraum!

Beispiel 10 

Werfen einer Münze

Bestimme den Ereignisraum.

$$ \mathcal{P}(\Omega) = \{\{\,\},\{\text{K}\},\{\text{Z}\},\{\text{K},\text{Z}\}\} $$

Anmerkung

Der Ereignisraum des Zufallsexperiments setzt sich zusammen aus

  • dem unmöglichen Ereignis: $E_1 = \{\,\}$
  • den beiden Elementarereignissen: $E_2 = \{\text{K}\}$ (Kopf) und $E_3 = \{\text{Z}\}$ (Zahl)
  • dem sicheren Ereignis: $E_ 4 = \Omega = \{\text{K},\text{Z}\}$

Beispiel 11 

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit drei Kugeln
(Die Kugeln sind mit den Buchstaben a, b und c gekennzeichnet.)

Bestimme den Ereignisraum.

Der Ereignisraum des Zufallsexperiments setzt sich zusammen aus

  • dem unmöglichen Ereignis: $E_1 = \{\,\}$
  • den drei Elementarereignisse: $E_2 =\{\text{a}\}$, $E_3 =\{\text{b}\}$ und $E_4 =\{\text{c}\}$
  • den (mehrelementigen) Teilmengen von $\Omega$: $E_5 =\{\text{a}, \text{b}\}$, $E_6 =\{\text{a}, \text{c}\}$, $E_7 =\{\text{b}, \text{c}\}$
  • dem sicheren Ereignis: $E_8 =\{\text{a}, \text{b}, \text{c}\}$

$$ \Rightarrow \mathcal{P}(\Omega) = \{\{\}, \{\text{a}\}, \{\text{b}\}, \{\text{c}\}, \{\text{a}, \text{b}\}, \{\text{a}, \text{c}\}, \{\text{b}, \text{c}\}, \{\text{a}, \text{b}, \text{c}\}\} $$

Mächtigkeit des Ereignisraums 

Definition 

Wir wollen die Anzahl der möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments bestimmen.

Die Anzahl aller möglichen Ereignisse heißt Mächtigkeit des Ereignisraums $\boldsymbol{|\mathcal{P}(\Omega)|}$.

Der Begriff Mächtigkeit stammt aus der Mengenlehre (siehe Mächtigkeit einer Menge).
Die Mächtigkeit des Ereignisraums gibt an, wie viele Elemente in der Menge $\mathcal{P}(\Omega)$ liegen.

Mächtigkeit berechnen 

Der Ereignisraum besteht aus $2^{|\Omega|}$ Ereignissen.

Dabei ist $|\Omega|$ die Mächtigkeit des Ergebnisraums, also die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

Beispiel 12 

Werfen einer Münze

Bestimme die Mächtigkeit des Ereignisraums.

Ergebnisraum

$$ \Omega = \{\text{Z}, \text{K}\} $$

Mächtigkeit des Ergebnisraums

$$ |\Omega| = {\color{red}2} $$

Mächtigkeit des Ereignisraums

$$ |\mathcal{P}(\Omega)| = 2^{|\Omega|} = 2^{\color{red}2} = 4 $$

Anmerkung

$$ \mathcal{P}(\Omega) = \{\{\},\{\text{K}\}, \{\text{Z}\}, \{\text{K}, \text{Z}\}\} $$

Beispiel 13 

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit drei Kugeln
(Die Kugeln sind mit den Buchstaben $\text{a}$, $\text{b}$ und $\text{c}$ gekennzeichnet.)

Bestimme die Mächtigkeit des Ereignisraums.

Ergebnisraum

$$ \Omega = \{\text{a}, \text{b}, \text{c}\} $$

Mächtigkeit des Ergebnisraums

$$ |\Omega| = {\color{red}3} $$

Mächtigkeit des Ereignisraums

$$ |\mathcal{P}(\Omega)| = 2^{|\Omega|} = 2^{\color{red}3} = 8 $$

Anmerkung

$$ \mathcal{P}(\Omega) = \{\{\}, \{\text{a}\}, \{\text{b}\}, \{\text{c}\}, \{\text{a}, \text{b}\}, \{\text{a}, \text{c}\}, \{\text{b}, \text{c}\}, \{\text{a}, \text{b}, \text{c}\}\} $$

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