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Ergebnis & Ergebnisraum

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Ergebnis, dem Ergebnisraum (Synonym: Ergebnismenge) und der Mächtigkeit des Ergebnisraums eines Zufallsexperiments.

Erforderliches Vorwissen

Ergebnis 

Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis $\boldsymbol{\omega}$.

Ergebnisse werden mit dem griechischen Buchstaben $\omega$ (Klein-Omega) bezeichnet.

Beispiel 1 

Zufallsexperiment: Werfen einer Münze

Mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl

Beispiel 2 

Zufallsexperiment: Werfen eines Würfels

Mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6

Beispiel 3 

Zufallsexperiment: Ziehen einer Kugel aus einer Urne

Mögliche Ergebnisse: die Farben der Kugeln oder die aufgedruckten Zahlen

Beispiel 4 

Zufallsexperiment: Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel

Mögliche Ergebnisse: Bube, Dame, König, Ass sowie die Zahlen 2 bis 10

Beispiel 5 

Zufallsexperiment: Drehen eines Glücksrads

Mögliche Ergebnisse: die Sektoren auf der Scheibe des Glückrads

Beispiel 6 

Zufallsexperiment: Roulette

Mögliche Ergebnisse: die Zahlen 0 bis 36

Beispiel 7 

Zufallsexperiment: Lotto

Mögliche Ergebnisse: die Zahlen 1 bis 49

Ergebnisraum 

Wir wollen alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in einer Menge zusammen:

Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum $\boldsymbol{\Omega}$.

Ergebnisräume werden mit dem griechischen Buchstaben $\Omega$ (Groß-Omega) bezeichnet.

Beispiel 8 

Zufallsexperiment

Werfen einer Münze

Ergebnisraum

$$ \Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\} $$

Der Ergebnisraum $\Omega$ kann je nach Bedarf unterschiedlich angegeben werden.

Beispiel 9 

Zufallsexperiment

Werfen eines Würfels

Ergebnisraum 1

Frage nach der Augenzahl

$$ \Omega_1 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $$

Ergebnisraum 2

Frage, ob Augenzahl gerade oder ungerade

$$ \Omega_2 = \{\text{gerade}, \text{ungerade}\} $$

Ergebnisraum 3

Frage, ob 6 (= Treffer) oder Nicht-6 (= Niete) geworfen wird

$$ \Omega_3 = \{\text{Treffer}, \text{Niete}\} $$

Mächtigkeit des Ergebnisraums 

Wir wollen die Anzahl der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bestimmen.

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums $\boldsymbol{|\Omega|}$.

Der Begriff Mächtigkeit stammt aus der Mengenlehre (siehe Mächtigkeit einer Menge).
Die Mächtigkeit des Ergebnisraums gibt an, wie viele Elemente in der Menge $\Omega$ liegen.

Beispiel 10 

Zufallsexperiment

Werfen einer Münze

Ergebnisraum

$$ \Omega = \{\text{Zahl}, \text{Kopf}\} $$

Mächtigkeit des Ergebnisraums

Durch Abzählen stellen wir fest, dass im Ergebnisraum 2 Elemente sind.

$$ |\Omega| = 2 $$

Beispiel 11 

Zufallsexperiment

Werfen eines Würfels

Ergebnisraum

$$ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $$

Mächtigkeit des Ergebnisraums

Durch Abzählen stellen wir fest, dass im Ergebnisraum 6 Elemente sind.

$$ |\Omega| = 6 $$

Arten von Ergebnisräumen 

Ergebnisräume lassen nach der Anzahl ihrer Elemente in drei Arten unterteilen.

Endlicher Ergebnisraum 

Ein Ergebnisraum heißt endlich, wenn
(a) die Elemente des Ergebnisraums abgezählt werden können und
(b) sich eine Obergrenze angeben lässt.

Beispiel 12 

Werfen einer Münze

$$ \Omega = \{\text{K}, \text{Z}\} $$

Beispiel 13 

Erreichte Punktzahl in einer Klausur
(Nur ganze Punkte werden vergeben; Maximalpunktzahl: 90)

$$ \Omega = \{1, 2, 3,\dots, 90\} $$

Abzählbar-unendlicher Ergebnisraum 

Ein Ergebnisraum heißt abzählbar-unendlich, wenn
(a) die Elemente des Ergebnisraums abgezählt werden können und
(b) sich keine Obergrenze angeben lässt.

Beispiel 14 

Werfen einer Münze bis Zahl kommt

$$ \Omega = \{\text{Z}, \text{KZ}, \text{KKZ},\dots\} $$

Beispiel 15 

Eingangene Bestellungen in einer Pizzeria in einem Monat

$$ \Omega = \{1, 2, 3,\dots\} $$

Überabzählbar-unendlicher Ergebnisraum 

Ein Ergebnisraum heißt überabzählbar-unendlich, wenn
die Elemente des Ergebnisraums nicht abgezählt werden können.

Beispiel 16 

Messung der Wartezeit $t$ eines Kunden an einer Supermarktkasse

$$ \Omega = \{t \,|\, 0 \leq t \leq T\} $$

$T$ = Öffnungsdauer der Kasse

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