Arithmetisches Mittel

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist das arithmetische Mittel.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Das arithmetische Mittel ist ein Lageparameter.

Unter dem Begriff Lageparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen. Da das arithmetische Mittel die zentrale Lage einer Verteilung beschreibt, handelt es sich um einen sog. Mittelwert. Umgangssprachlich sagt man zum arithmetischen Mittel auch einfach Durchschnitt.

Arithmetisches Mittel berechnen 

Im Folgenden unterscheiden wir, ob die Daten als Beobachtungswerte, absolute Häufigkeiten oder relative Häufigkeiten gegeben sind. Das arithmetische Mittel von Beobachtungswerten bezeichnet man als ungewogenes arithmetisches Mittel, wohingegen man das arithmetische Mittel von absoluten und relativen Häufigkeiten als gewogenes arithmetisches Mittel bezeichnet.

Beobachtungswerte gegeben 

Ungewogenes arithmetisches Mittel
(Beobachtungswerte gegeben)

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i $$

Um das ungewogene arithmetische Mittel zu berechnen, addiert man alle gegebenen Beobachtungswerte $x_1$ bis $x_n$ und dividiert die so ermittelte Summe durch die Anzahl der Beobachtungswerten.

Beispiel 1 

Berechne das arithmetische Mittel.

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Schulnote } x_i & 5 & 3 & 6 & 2 & 4 & 3 & 5 \\ \hline \end{array} $$

Anzahl der Beobachtungswerte bestimmen

Durch Abzählen stellen wir fest, dass es $7$ Beobachtungswerte gibt.

Formel aufschreiben

$$ \bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{\bar{x}} = \frac{1}{7} \cdot (5+3+6+2+4+3+5) $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{\bar{x}} = 4 $$

Absolute Häufigkeiten gegeben 

Gewogenes arithmetisches Mittel
(Absolute Häufigkeiten gegeben)

$$ \bar{x} = \frac{x_1 H_1 + x_2 H_2 + \ldots + x_m H_m}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{m} x_i H_i $$

Um das gewogene arithmetische Mittel zu berechnen, addiert man zunächst die Produkte aller gegebenen Beobachtungswerte und ihrer absoluten Häufigkeiten von $x_{1}H_{1}$ bis $x_{m}H_{m}$. Danach dividiert man die so ermittelte Summe durch die Anzahl der Beobachtungswerte $n$.

Beispiel 2 

Berechne das arithmetische Mittel.

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Schulnote } x_i & {\color{red}{1}} & {\color{red}{2}} & {\color{red}{3}} & {\color{red}{4}} & {\color{red}{5}} & {\color{red}{6}} \\ \hline \text{absolute Häufigkeit } H_i & 3 & 8 & 12 & 5 & 3 & 1 \\ \hline \end{array} $$

Anzahl der Beobachtungswerte berechnen

$$ n = \sum_{i=1}^{m} H_i = 3 + 8 + 12 + 5 + 3 + 1 = {\color{blue}{32}} $$

Formel aufschreiben

$$ \bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{m} x_i H_i $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{\bar{x}} = \frac{1}{{\color{blue}{32}}} \cdot ({\color{red}{1}} \cdot 3 + {\color{red}{2}} \cdot 8 + {\color{red}{3}} \cdot 12 + {\color{red}{4}} \cdot 5 + {\color{red}{5}} \cdot 3 + {\color{red}{6}} \cdot 1) $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{\bar{x}} &= \frac{1}{32} \cdot 96 \\\\ &= 3 \end{align*} $$

Relative Häufigkeiten gegeben 

Gewogenes arithmetisches Mittel
(Relative Häufigkeiten gegeben)

$$ \bar{x} = x_1 h_1 + x_2 h_2 + \ldots + x_m h_m = \sum_{i=1}^{m} x_i h_i $$

Um das gewogene arithmetische Mittel zu berechnen, addiert man die Produkte aller gegebenen Beobachtungswerte und ihrer relativen Häufigkeiten von $x_{1}h_{1}$ bis $x_{m}h_{m}$.

Beispiel 3 

Berechne das arithmetische Mittel.

$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline \text{Schulnote } x_i & {\color{red}{1}} & {\color{red}{2}} & {\color{red}{3}} & {\color{red}{4}} & {\color{red}{5}} & {\color{red}{6}} \\ \hline \text{relative Häufigkeit } h_i & 0{,}15 & 0{,}30 & 0{,}30 & 0{,}10 & 0{,}10 & 0{,}05 \\ \hline \end{array} $$

Formel aufschreiben

$$ \bar{x} = \sum_{i=1}^{m} x_i h_i $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{\bar{x}} = {\color{red}{1}} \cdot 0{,}15 + {\color{red}{2}} \cdot 0{,}30 + {\color{red}{3}} \cdot 0{,}30 + {\color{red}{4}} \cdot 0{,}10 + {\color{red}{5}} \cdot 0{,}10 + {\color{red}{6}} \cdot 0{,}05 $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{\bar{x}} = 2{,}85 $$

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