Harmonisches Mittel

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist das harmonische Mittel.

Einordnung 

Das harmonische Mittel ist ein Lageparameter.

Unter dem Begriff Lageparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen. Da das harmonische Mittel die zentrale Lage einer Verteilung beschreibt, handelt es sich um einen Mittelwert.

Anwendung 

Das harmonische Mittel kommt meist dann zum Einsatz, wenn der Mittelwert von Verhältniszahlen gesucht ist.

Der Quotient zweier statistischer Größen heißt Verhältniszahl.

Beispiel 1 

100 km/h (Kilometer pro Stunde) ist der Quotient aus 100 km und 1 h.

Das harmonische Mittel dient häufig zur Berechnung der Durchschnitts­geschwindigkeit.

Harmonisches Mittel berechnen 

Formel für das harmonische Mittel

$$ \bar{x}_{\text{harm}} = \frac{n}{\sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} $$

Um das harmonische Mittel zu berechnen, dividiert man die Anzahl der Beobachtungswerte $n$ durch die Summe der Kehrwerte der Beobachtungswerte von $\frac{1}{x_1}$ bis $\frac{1}{x_n}$.

Geht es um die Berechnung einer Durchschnitts­geschwindigkeit, lautet die Formel:

Formel für die Durchschnitts­geschwindigkeit

$$ \bar{x}_{\text{harm}} = \frac{\sum\limits_{i = 1}^{n} g_i }{\sum\limits_{i = 1}^{n}\frac{g_i}{x_i}} = \frac{g_1 + \ldots + g_n}{\frac{g_1}{x_1} + \ldots + \frac{g_n}{x_n}} $$

Dabei gilt:

  • $g_i$ ist die Länge der Teilstrecke $i$
  • $x_i$ ist die Geschwindigkeit auf der Teilstrecke $i$

Beispiel 2 

Ein Auto fährt die ersten 100 km mit 150 km/h, weitere 100 km mit 50 km/h.

Berechne die Durchschnitts­geschwindigkeit.

Die Angaben aus der Aufgabenstellung schreiben wir der besseren Übersicht halber in eine Tabelle:

$$ \begin{array}{r|r|r} \hline \text{Teilstrecke } i & 1 & 2 \\ \hline \text{Länge } g_i\text{ in km} & 100 & 100 \\ \hline \text{Geschwindigkeit } x_i \text{ in km/h } & 150 & 50 \\ \hline \end{array} $$

Formel aufschreiben

$$ \bar{x}_{\text{harm}} = \frac{\sum\limits_{i = 1}^{n} g_i }{\sum\limits_{i = 1}^{n}\frac{g_i}{x_i}} $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{\bar{x}_{\text{harm}}} = \frac{100 + 100}{\frac{100}{150} + \frac{100}{50}} = 75 $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{\bar{x}_{\text{harm}}} = 75 $$

Die Durchschnitts­geschwindigkeit beträgt 75 km/h.

Vorsicht!

Das arithmetische Mittel der Geschwindigkeiten

$$ \bar{x} = \frac{150 + 50}{2} = \frac{200}{2} = 100 $$

führt hier zu einem falschen Ergebnis, da die Längen der Teilstrecken unberücksichtigt bleiben.

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