Standardabweichung

In diesem Kapitel schauen wir uns die Standardabweichung einer Verteilung an.

Problemstellung

Wir wissen bereits, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen entweder

vollständig beschreiben lässt.

Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig. Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Eine dieser Maßzahlen lernen wir im Folgenden etwas besser kennen.

Die Standardabweichung ist eine Maßzahl*
zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

* statt Maßzahl sagt man auch Kennzahl oder Kennwert

Welche Aussage trifft die Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein „Streuungsparameter“. Unter diesem Begriff werden alle Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Streuung einer Verteilung machen.

Die Standardabweichung beschreibt die erwartete Abweichung
der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.

Standardabweichung [Diskrete Verteilung]

In den folgenden beiden Abbildungen sind zwei Wahrscheinlichkeitsfunktionen dargestellt.
Erkennst du den Unterschied zwischen einer kleinen und einer großen Standardabweichung?

Die Realisationen von \(X\) sind eng
um den Erwartungswert \(\mu = 0\) gestreut.



\(\Rightarrow\) kleine Standardabweichung

Die Realisationen von \(X\) sind breit
um den Erwartungswert \(\mu = 0\) gestreut.



\(\Rightarrow\) große Standardabweichung

Im Folgenden schauen wir uns an, wie man die Standardabweichung berechnet.

\[\sigma_{X} = \sqrt{\mathrm{Var(X)}}\]

Beispiel 1

Die Zufallsvariable \(X\) sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.

Es gibt sechs mögliche Realisationen:
\(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 4\), \(x_5 = 5\), \(x_6 = 6\)

Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:
\(p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6}\)

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Augenzahl } x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline P(X = x_i) & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}
\end{array}\)

Die Varianz ist \(\sigma_{X}^2 = \mathrm{Var}(X) = \frac{35}{12}\).
[Ausführlicher Rechenweg: Varianz einer diskreten Zufallsvariablen - Beispiel 1]

> Standardabweichung berechnen

\[\sigma_{X} = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}} = 1,71\]

Beispiel 2

Die Zufallsvariable \(X\) sei der Gewinn beim Roulette.

Wir setzen 1 Euro auf unsere Glückszahl. Falls wir gewinnen, erhalten wir 18 Euro.
Zur Erinnerung: Beim Roulette kann man auf die Zahlen 0 bis 36 setzen.

Es gibt zwei Realisationen:
\(x_1 = -1\) (falls wir verlieren)
\(x_2 = 18\) (falls wir gewinnen)

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:
\(p_1 = \frac{36}{37}\) (in 36 von 37 Fällen verlieren wir)
\(p_2 = \frac{1}{37}\) (in 1 von 37 Fällen gewinnen wir)

\(\begin{array}{r|r|r}
\text{Gewinn } x_i & -1 & 18 \\
\hline P(X = x_i) & \frac{36}{37} & \frac{1}{37}
\end{array}\)

Die Varianz ist \(\sigma_{X}^2 = \mathrm{Var}(X) = \frac{12996}{1369}\).
[Ausführlicher Rechenweg: Varianz einer diskreten Zufallsvariablen - Beispiel 2]

> Standardabweichung berechnen

\[\sigma_{X} = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{\frac{12996}{1369}} = \frac{114}{37} \approx 3,08\]

Standardabweichung [Stetige Verteilung]

In den folgenden beiden Abbildungen sind zwei Dichtefunktionen dargestellt.
Erkennst du den Unterschied zwischen einer kleinen und einer großen Standardabweichung?

Die Realisationen von \(X\) sind eng
um den Erwartungswert \(\mu = 0\) gestreut.



\(\Rightarrow\) kleine Standardabweichung

Die Realisationen von \(X\) sind breit
um den Erwartungswert \(\mu = 0\) gestreut.



\(\Rightarrow\) große Standardabweichung

Im Folgenden schauen wir uns an, wie man die Standardabweichung berechnet.

\[\sigma_{X} = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}\]

Beispiel 1

Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen -1 und 1.

Die Dichtefunktion des Zufallsgenerators ist

\(\begin{equation*}
f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{für } x < -1\\
0,5 & \text{für } -1 \le x \le 1 \\
0 & \text{für } x > 1
\end{cases}
\end{equation*}\)

Die Varianz ist \(\sigma_{X}^2 = \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{3}\).
[Ausführlicher Rechenweg: Varianz einer stetigen Zufallsvariablen - Beispiel 1]

> Standardabweichung berechnen

\[\sigma_{X} = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 0,58\]

Beispiel 2

Gegeben ist eine Zufallsvariable \(X\) mit der Dichtefunktion

\(\begin{equation*}
f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{für } x < 0 \\
\frac{1}{4}x & \text{für } 0 \le x < 2 \\
1 - \frac{1}{4}x & \text{für } 2 \le x \le 4 \\
0 & \text{für } x > 4
\end{cases}
\end{equation*}\)

Die Varianz ist \(\sigma_{X}^2 = \mathrm{Var}(X) = \frac{2}{3}\).
[Ausführlicher Rechenweg: Varianz einer stetigen Zufallsvariablen - Beispiel 2]

> Standardabweichung berechnen

\[\sigma_{X} = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0,82\]

Wir merken uns:

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder

vollständig beschreiben.

Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig. Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u.a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

JETZT NEU! Löse eine Matheaufgabe und gewinne einen 25 € Amazon-Gutschein!