Dichtefunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Dichtefunktion ist.
[Alternative Bezeichnungen: Wahrscheinlichkeitsdichte(-funktion), Dichte]

Die Dichtefunktion ist nur für stetige Zufallsvariablen definiert!

Die Dichtefunktion ist ein Hilfsmittel zur
Beschreibung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Dichtefunktion hat vor allem die Aufgabe, einen visuellen Eindruck der Verteilung zu vermitteln: Wie der Name bereits andeutet, zeigt diese Funktion, in welchen Teilen sich die Werte der Zufallsvariablen am dichtesten scharen.





Die Dichtefunktion zeigt, dass sich
in der Umgebung von 0
die Werte am dichtesten scharen.





Die Dichtefunktion zeigt, dass sich
in der Umgebung von 1,5
die Werte am dichtesten scharen.

Eigenschaften der Dichtefunktion

  • Die Dichtefunktion kann nur positive Werte annehmen.
    \(f(x) \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)
  • Die Fläche unter der Dichtefunktion hat den Inhalt 1.
    \(\int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, \mathrm{d}x = 1\)

Anmerkung: Bei Dichtefunktionen können durchaus Werte größer als 1 auftreten.





In der Abbildung sehen wir eine Dichtefunktion, die Funktionswerte größer als 1 annimmt.

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet man bei stetigen Zufallsvariablen immer die entsprechende Verteilungsfunktion. Sie ergibt sich durch Integration der Dichtefunktion:

\[F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \mathrm{d}u\]

Schauen wir dazu einige Beispiele an:

1. Beispiel

\[P(X \le 3) = \int_{-\infty}^{3} \! f(u) \, \mathrm{d}u\]

2. Beispiel

\[P(2 < X \le 3) = \int_{2}^{3} \! f(u) \, \mathrm{d}u\]

3. Beispiel

\[P(X > 4) = \int_{4}^{\infty} \! f(u) \, \mathrm{d}u\]

Aus

\[F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \mathrm{d}u\]

lässt sich eine wichtige Eigenschaft ableiten:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable \(X\)
einen bestimmten Wert \(x\) annimmt, ist stets Null.

\(P(X = x) = 0\)

Grund dafür ist, dass die Fläche über einem Punkt \(x\) gleich Null ist:

\[P(X = x) = \int_{x}^{x} \! f(u) \, \mathrm{d}u = F(x) - F(x) = 0\]

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Bei diskreten Zufallsvariablen haben wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion kennengelernt,
welche jedem \(x\) der Zufallsvariablen \(X\) seine Wahrscheinlichkeit \(P(X = x)\) zuordnet.

Für stetige Zufallsvariablen ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht definiert,
da die Wahrscheinlichkeit, dass \(x\) eintritt, hier stets \(P(X = x) = 0\) ist.

Wir können festhalten:
Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt \(f(x) = P(X = x)\).
Für die Dichtefunktion gilt \(f(x) \neq P(X = x)\).

Daraus folgt:

Aus der Dichtefunktion selbst lassen sich
keine Wahrscheinlichkeiten ablesen!

Im nächsten Kapitel werden wir sehen, dass die Wahrscheinlichkeit der Fläche unter der Dichtefunktion entspricht, welche man mit Hilfe der Verteilungsfunktion berechnet.

Beispiele für Dichtefunktionen

Im Folgenden schauen wir uns ein paar Dichtefunktionen einiger bekannter Verteilungen an.

Normalverteilung
\[f(x) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\] Im Beispiel gilt:
\(\mu = 3\)
\(\sigma = 1\)

Stetige Gleichverteilung

\(\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < a\\ \frac{1}{b-a} & \text{für } a \le x \le b \\ 0 & \text{für } x > b \end{cases} \end{equation*}\)

Im Beispiel gilt:
\(a = 2\)
\(b = 4\)

Exponentialverteilung

\(\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0\\ \dfrac{1}{\mu}\mathrm{e}^{-\dfrac{x}{\mu}} & \text{für } x \geq 0 \end{cases} \end{equation*}\)

Im Beispiel gilt:
\(\mu = 3\)

Wir merken uns:

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder

vollständig beschreiben.

Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig. Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u.a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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