Diskrete Zufallsvariable

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine diskrete Zufallsvariable ist.

Eine Funktion \(X\), die
jedem Ergebnis \(\omega\) des Ergebnisraum \(\Omega\)
genau eine Zahl \(x\) der Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\)
zuordnet, heißt Zufallsvariable.

Kurzschreibweise: \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\)

Diese Definition lässt sich in einem Mengendiagramm sehr leicht veranschaulichen.




Eine Zufallsvariable ordnet
jedem \(\omega_i\) aus \(\Omega\)
genau ein \(x_i\) aus \(\mathbb{R}\)
zu.

Lass dich von dem Wort Zufallsvariable nicht verwirren! Eine Zufallsvariable \(X\) ist keine Zahl, die in einem Zufallsexperiment zufällig herauskommt, sondern eine Funktion, die jedem zufällig entstehenden Ergebnis \(\omega\) einen ganz genau bestimmten Zahlenwert \(x\) zuordnet: \(X: \omega \rightarrow x\).
Merke: Die Werte \(x\), die eine Zufallsvariable \(X\) annimmt, heißen auch „Realisationen“.

Eine Zufallsvariable \(X\) wird als diskret bezeichnet,
wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.

Beispiele

\(X := \text{„Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe“}\)
           \(\Rightarrow\) endliche Wertemenge

\(X := \text{„Anzahl Würfe, bis zum ersten Mal 6 erscheint“}\)
           \(\Rightarrow\) unendliche Wertemenge, die jedoch abzählbar ist

Diskrete Zufallsvariablen entstehen meist durch einen Zählvorgang.

Daraus folgt, dass diskrete Zufallsvariablen in der Regel nur ganzzahlige Werte annehmen.

Beispiele für diskrete Zufallsvariablen

  • die Augenzahl beim Werfen eines Würfels
  • die Summe der Augenzahlen beim Werfen mehrerer Würfel
  • die Anzahl der Würfe eines Würfels, bis zum ersten Mal 6 erscheint
  • die Anzahl der Würfe einer Münze, bis zum ersten Mal \(\text{KOPF}\) oben liegt
  • die Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe
  • die Anzahl der in einem Geschäft an einem Tag verkauften Produkte
  • die Anzahl der Schadensleistungen, die in einem Jahr bei einer Versicherung auftreten
  • der Gewinn bei einem Glücksspiel

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an,
wie sich die Wahrscheinlichkeiten
auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen lässt sich beschreiben durch:

Beispiel

Die Zufallsvariable \(X\) sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.

Es gibt sechs mögliche Realisationen:
\(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 4\), \(x_5 = 5\), \(x_6 = 6\)

Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:
\(p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6}\)

1.) Wahrscheinlichkeitsfunktion \[\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & \text{für } x = 1 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 2 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 3 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 4 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 5 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 6 \\ 0 & \text{sonst } \end{cases} \end{equation*}\] Merke: \(f(x) = P(X = x)\)

2.) Verteilungsfunktion \[\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 1 \\ \frac{1}{6} & \text{für } 1 \le x < 2 \\ \frac{2}{6} & \text{für } 2 \le x < 3 \\ \frac{3}{6} & \text{für } 3 \le x < 4 \\ \frac{4}{6} & \text{für } 4 \le x < 5 \\ \frac{5}{6} & \text{für } 5 \le x < 6 \\ 1 & \text{für } x \ge 6 \end{cases} \end{equation*}\] Merke: \(F(x) = P(X \le x)\)

Sowohl die Wahrscheinlichkeitsfunktion als auch die Verteilungsfunktion beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen vollständig. Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig. Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen.
Dazu zählen u.a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Diskrete Zufallsvariablen im Überblick

Entstehung durch... Zählvorgang
Beispiel: Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe
Wahrscheinlichkeitsverteilung  
- Wahrscheinlichkeitsfunktion  
- Verteilungsfunktion  
Maßzahlen  
- Erwartungswert \[\mu_{X} = \mathrm{E}(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)\]
- Varianz \[\sigma^2_{X} = \mathrm{Var(X)} = \sum_i (x_i - \mu_{X})^2 \cdot P(X = x_i)\]
- Standardabweichung \[\sigma_{X} = \sqrt{\mathrm{Var(x)}}\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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